Question

Ctgx - 2tg2x - 4tg4x = 9tgx

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\mathrm{ctg}\,x-2\mathrm{tg}\,2x-4\mathrm{tg}\,4x=9\mathrm{tg}\,x$

Выполним "хитрое" преобразование:

$\left(\mathrm{ctg}\,x-\mathrm{tg}\,x\right)-2\mathrm{tg}\,2x-4\mathrm{tg}\,4x=8\mathrm{tg}\,x$

Я не с проста выделил скобками разность тангенса и котангенса.

Давайте разберемся в чем здесь секрет:

$\mathrm{ctg}\,x-\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}=2\cdot\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{2\sin x\cos x}=2\mathrm{ctg}\,2x$

О чудо! Уравнение приняло вид:

$\left(2\mathrm{ctg}\,2x-2\mathrm{tg}\,2x\right)-4\mathrm{tg}\,4x=8\mathrm{tg}\,x$

Думаю теперь не возникает вопросов, что делать.

Ведь теперь алгоритм решения стал прозрачным:

$\left(4\mathrm{ctg}\,4x-4\mathrm{tg}\,4x\right)=8\mathrm{tg}\,x$

И снова "сжимаем" уравнение:

$\mathrm{ctg}\,8x=\mathrm{tg}\,x$

Теперь осталось решить то, что записано выше:

$\mathrm{ctg}\,8x=\mathrm{tg}\,x\\\\\dfrac{\cos 8x}{\sin 8x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

$\left\{\begin{array}{c}\cos 8x\cos x-\sin 8x\sin x=0\\\sin 8x\cos x\ne 0\end{array}\right;\\\\\\\left\{\begin{array}{c}\cos 9x=0\\\sin 8x\ne0\\\cos x\ne 0\end{array}\right;$

Тогда:

$\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{n\pi}{9},\;\n\in\mathbb{Z}\\\\x\ne\dfrac{k\pi}{8},\;k\in\mathbb{Z}\\\\x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;$

И эту систему можно записать покороче:

$\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{n\pi}{9},\;\n\in\mathbb{Z}\\\\x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;$

Уравнение решено!