Question

Гирлянда состоит из 20 лампочек. Вероятность того, что за время T одна из лампочек не перегорит, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышёва, оцените вероятность того, что абсолютная величина разности между числом не перегоревших ламп и средним числом включённых ламп за время T окажется не меньше, чем три.

Ответ округлите до сотых.

Answer 1

Ответ: а) ≈0,64; б) ≈0,36

Пошаговое объяснение:

Положим, что случайная величина X – это число включенных лампочек за время T.

Поскольку проводятся повторные независимые испытания с двумя исходами, то

p=0,8

q=1–p=0,2

n=20,

следовательно, что случайная величина распределяется по биномиальному закону.

а это означает, что

M(X)=np=20·0,8=16

D(X)=npq=20·0,8·0,2=3,2

исходя из неравенства Чебышева:

P(|X–M(X)| < ε) ≥ 1–(D(X)/ε2)

а) Р(|X–16| < 3) ≥ 1– (3,2/92)=(9–3,2)/9=

=5,8/9=0,64444... ≈ 0,64

б)

Поскольку события | X–16| < 3 и |X–16| ≥ 3,

то

P(|X–M(X)| ≥ 3) =1– Р(|X–16| < 3) ≈

≈1 – 0, 64 = 0,36