Question

Помогите, пожалуйста, 40 баллов!

Даны координаты вершин треугольника ABC
А (-4;10) В (8;1) С (12;23) найти:

1) уравнение высоты CD и ее длину

2) уравнение медианы AE и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника ABC

А(-4;10), В(8;1) , С(12;23) . Найти:  1) уравнение высоты CD и ее длину ;

2) уравнение медианы AE и координаты точки К , точки пересечения этой медианы с высотой CD.

Объяснение:

1) Прямые содержащие отрезки АВ и СD будут перпендикулярны , те $\displaystyle k_A_B*k_C_D=-1$

Уравнение прямой АВ    :  $\displaystyle \frac{x+4}{8+4} =\frac{y-10}{1-10}$  или 12(у-10)=-9(х+4) ,

4(у-10)=-3(х+4) , у-10= -0,75(х+4) ,  у= -0,75х+7.

$\displaystyle k_C_D=-1 :k_A_B=-1:(-0,75)=\frac{4}{3}$

Для уравнение прямой СD ,  у=4/3*х+b ,  найдем в используя координаты  С(12;23).

$\displaystyle 23= \frac{4}{3} *12+b$  ⇒ b=7.  Тогда уравнение высоты CD будет у=4/3*х+7.

CD=√( (12-х₂)²+(23-у₂)² ), где  C(12;23), D(х₂;у₂ )

Ищем координаты D

$\displaystyle \left \{ {{y=-0,75x+7} \atop {y=\frac{4}{3} x+7}} \right.$⇒    $\displaystyle -0,75x+7} =\frac{4}{3} x+7}} \right.$  ⇒ x=0,y=7 . D(0;7)

СD=√( (12-0)²+(23-7)² )=√(144+256)=20.

2)Если АЕ-медиана , то Е середина ВС .

Е( (8+12):2 ; (1+23):2 ) или Е(10;12)

Уравнение прямой АЕ    :  $\displaystyle \frac{x+4}{10+4} =\frac{y-10}{12-10}$  или 14(у-10)=2(х+4) ,

у-10=1/7*(х+4) , у-10= 1/7*х+4/7 ,  у=1/7*х+74/7.

Ищем координаты точки К

$\displaystyle \left \{ {{y= \frac{1}{7} x+\frac{74}{7} } \atop {y=\frac{4}{3} x+7}} \right.$ ,  $\displaystyle \frac{1}{7} x+\frac{74}{7} } =\frac{4}{3} x+7}}$  |*21  , 3x+74*3=28x+21*7 ,

25x=75 , x=3 . Тогда у= 1/7*(3+74)==11 ⇒ К(3;11).