Question

Знайти три числа, кожне з яких дорівнює квадрату різниці двох інших

Answer 1

Ответ:

(1; 1; 0)

Пошаговое объяснение:

Мне пришло в голову совсем простое решение: 1; 1; 0.

(1 - 1)^2 = 0

(1 - 0)^2 = 1

Если решать строго, то получится система:

$\begin{cases} (a-b)^2=c \\ (a-c)^2=b \\ (b-c)^2=a \end{cases}$

Раскрываем скобки:

$\begin{cases} a^2-2ab+b^2=c \\ a^2-2ac+c^2=b \\ b^2-2bc+c^2=a \end{cases}$

Вычтем из 1 уравнения 2 уравнение.

Вычтем из 1 уравнения 3 уравнение.

Вычтем из 2 уравнения 3 уравнение.

$\begin{cases} 2ac-2ab+b^2-c^2=c-b \\ a^2+2bc-2ab-c^2=c-a \\ a^2+2bc-2ac-b^2=b-a \end{cases}$

Раскладываем на множители:

$\begin{cases} 2a(c-b)+(b-c)(b+c)=c-b \\ 2b(c-a)+(a-c)(a+c)=c-a \\ 2c(b-a)+(a-b)(a+b)=b-a \end{cases}$

Выносим общие множители за скобки:

$\begin{cases} (c-b)(2a-b-c)=c-b \\ (c-a)(2b-a-c)=c-a \\ (b-a)(2c-a-b)=b-a \end{cases}$

Дальше возможно два случая:

Случай номер 1: два числа равны друг другу, например, a = b ≠ c:

$\begin{cases} (c-a)(2a-a-c)=c-a \\ (c-a)(2a-a-c)=c-a \\ 0(2c-a-a)=0 \end{cases}$

1 и 2 уравнения - одинаковые, а 3 верно при любых а и с.

Делим 1 уравнение на (c-a) ≠ 0

2a - a - c = 1

a - c = 1

Но, если a = b, то их квадрат разности: (a - b)^2 = c = 0, значит:

c = 0; a = b = c + 1 = 1.

Получили то решение, до которого я и сам догадался.

Случай номер 2: все три числа разные.

Тогда делим все три уравнения на (c-b) ≠ 0, на (c-a) ≠ 0 и на (b-a) ≠ 0:

$\begin{cases} 2a-b-c=1 \\ 2b-a-c=1 \\ 2c-a-b=1 \end{cases}$

Получили линейную систему, решаем ее:

$\begin{cases} 2a-b-c=1 \\ -a+2b-c=1 \\ -a-b+2c=1 \end{cases}$

Умножаем 2 уравнение на 2 и складываем с 1 уравнением.

Умножаем 3 уравнение на 2 и складываем с 1 уравнением.

$\begin{cases} 2a-b-c=1 \\ 0a+3b-3c=3 \\ 0a-3b+3c=3 \end{cases}$

Складываем 2 и 3 уравнения:

0a + 0b + 0c = 6

Получили противоречие, значит, решений нет.

В итоге получается одно решение из 1 варианта:

a = 1; b = 1; c = 0