Question

Пусть P(x) = x(x + 1)…(x + 15). Натуральное число n таково, что P(n + 1) в пять раз больше P(n). Найдите n.

Answer 1

Ответ:

n = 4

Пошаговое объяснение:

Преобразуем выражения для P(x):

$\displaystyle \tt P(x)=x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot ... \cdot (x+15)=\\\\=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (x-1) \cdot x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot ... \cdot (x+15)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (x-1) } =\frac{(x+15)!}{(x-1)!}.$

Дано уравнение:

P(n+1) = 5·P(n).

Так как

$\displaystyle \tt P(n+1)=\frac{(n+1+15)!}{(n+1-1)!}=\frac{(n+16)!}{n!},\\\\P(n)=\frac{(n+15)!}{(n-1)!},$

то подставляем последние выражения в уравнение:

$\displaystyle \tt \frac{(n+16)!}{n!}=5 \cdot \frac{(n+15)!}{(n-1)!}.$

Остаётся решить уравнение:

$\displaystyle \tt \frac{(n+16)!}{(n+15)!}=5 \cdot \frac{n!}{(n-1)!} \\\\\frac{(n+15)! \cdot (n+16)}{(n+15)!}=5 \cdot \frac{(n-1)!\cdot n}{(n-1)!}\\\\n+16=5 \cdot n\\4 \cdot n=16\\n=4.$