Question

Помогите пожалуйста вычислить производные :

x+y=arctg(xy) +7

Answer 1

Ответ:

Производная вычислена:

$\displaystyle y'=\frac{y-1-x^2y^2}{1+x^2y^2-x}$

Пошаговое объяснение:

Вычислить производную.

$\displaystyle x+y=arctg(xy)+7$

Это неявная функция. Будем рассматривать у как сложную функцию от х.

Продифференцируем обе части по х, получим уравнение первой степени относительно y'. Из этого уравнения легко найдем у'.

Воспользуемся формулами:

$\boxed {(c)'=0};\;\;\;\;\;\boxed {(x)'=1}$

А так же производной сложной функции:

$\displaystyle \boxed { (arctg\;u)'=\frac{u'}{1+u^2}}$

Вычислим производную:

$\displaystyle 1+y'=\frac{(xy)'}{1+x^2y^2}$

В правой части в числителе производная произведения. Найдем ее по формуле:

$\displaystyle \boxed { (uv)'=u'v+uv'}$

Получим:

$\displaystyle 1+y'=\frac{1*y+x*y'}{1+x^2y^2}$

Теперь решим это уравнение относительно y':

$\displaystyle (1+y')(1+x^2y^2)=y+xy'\\\\1+x^2y^2+ \underline{y'}+ \underline{y'x^2y^2}=y+ \underline{xy'}\\\\y'+y'x^2y^2-xy'=y-1-x^2y^2\\\\y'(1+x^2y^2-x)=y-1-x^2y^2\\\\y'=\frac{y-1-x^2y^2}{1+x^2y^2-x}$

Производная вычислена.