Question

Может кто-нибудь,пожалуйста,помочь?

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$|x-\sin^2 a|+|x+\cos^24a-2\sin a\cdot\cos^44a|=b\left(a+\dfrac{3}{2}\pi\right)\\|x-\sin^2 a|+|x+\cos^24a-2\sin a\cdot\cos^44a|-ab-\dfrac{3b}{2}\pi\right)=0$

Введем функцию:

$f(x)=|x-\sin^2 a|+|x+\cos^24a-2\sin a\cdot\cos^44a|-ab-\dfrac{3b}{2}\pi\right)=0$

На промежутке от $-\infty$ до некоторого числа $v$ она монотонно убывает, затем от этого $v$ до некоторого $w$ она сохраняет постоянное значение, после чего от $w$ до $+\infty$ монотонно возрастает. Отметим, что если $v=w$, то функция имеет вид $\vee$ (сначала убывает, а затем сразу начинает возрастать). Это единственный случай, когда данное уравнение может иметь единственное решение. Причем $f(x)$ должна касаться нуля своим острым "уголком".

Определим сначала, когда функция имеет вид $\vee$, решив уравнение:

$\sin^2 a=-\cos^24a+2\sin a\cdot\cos^44a$

(решение оставляю читателю)

Тогда получили, что $a=\dfrac{\pi}{2}+2n\pi,\;n\in\mathbb{Z}$.

Значит при таких $a$ исходное уравнение может иметь единственное решение, а может иметь и два решения (все зависит от $b$).

Подставим найденное в уравнение:

$2|x-1|-\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi\right)b-\dfrac{3b}{2}\pi=0,\;n\in\mathbb{Z}$

Определим касание "уголком":

$-\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi\right)b-\dfrac{3b}{2}\pi=0,\;n\in\mathbb{Z}\\\\b\left(n+1\right)=0,\;n\in\mathbb{Z}$

При $n\ne-1$ получим, что $b=0$ есть единственный корень уравнения.

При $n=-1$ получим, что $b$ - любое число.

Итого, при $\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi;\;0\right),\;n\in\mathbb{Z}\backslash\{-1\}$ и $\left(-\dfrac{3\pi}{2},\;k\right),\;k\in\mathbb{R}$ уравнение имеет единственный корень.

Задание выполнено!