Question

Помогите пожалуйста решить задачу))

Answer 1

Прямая задана как пересечение двух плоскостей, поэтому удобно найти ее направляющий вектор $\vec{v}$ как векторное произведение нормальных векторов плоскостей $\vec{n}_{1}$ и $\vec{n}_{2}$: $\vec{v} = \vec{n}_{1}\times \vec{n}_{2} = \left(\begin{array}{ccc}6\\-5\\3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}6\\5\\-4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}5\\42\\60\end{array}\right)$.

Теперь рассмотрим произвольную точку на прямой, а $\vec{r}$ -- радиус-вектор, проведенный из $A$ в эту точку. Тогда искомое расстояние равно $|\vec{r}|\cdot \sin\theta$, где $\theta$ -- угол между $\vec{r}$ и прямой (а значит, и вектором $\vec{v}$). Очевидно, что $|\vec{r}|\cdot \sin\theta = \dfrac{|\vec{v}\times \vec{r}|}{|\vec{v}|}$. Точку на прямой найти легко, например, положив $x=0$, решить систему. Получим $z = 12,\; y = \dfrac{44}{5}$. Тогда $d = \dfrac{\left|\left(\begin{array}{ccc}5\\42\\60\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}1\\49/5\\5\end{array}\right) \right|}{\sqrt{5^2+42^2+60^2}} = \sqrt{\dfrac{378^2+35^2+7^2}{5^2+42^2+60^2}}$. Представить ответ в более хорошем виде не могу...