Question

Решите пожалуйста), с меня 40 баллов

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Попробуем доказать равенство:

$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1$

Применим метод математической индукции.

Докажем базу индукции для $n=1$:

$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}=\sqrt{2}-1$, верно.

Докажем переход:

Предположим, что для $n=k$ выполнено:

$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-1$

Тогда для $n=k+1$ согласно предположению:

$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}}=\\=\sqrt{k+1}-1+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}}=\sqrt{k+1}-1-(\sqrt{k+1}-\sqrt{k+2})=\\=\sqrt{(k+1)+1}-1$

Значит по принципу математической индукции равенство выполнено для всякого $n$.

Наконец, получили, что:

$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}=\sqrt{80+1}-1=9-1=8$

Из данных рассуждений заключаем, что правильный ответ указан под буквой Г.

Задание выполнено!

Answer 2

Відповідь:

Пояснення: