Question

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Answer 1

$\lim\limits_{x\to \infty}\left[\dfrac{5x^2+6x+5}{5x^2+7x-9}\right]^{-3x-4} = \lim\limits_{x\to \infty}\left[1-\dfrac{x-14}{5x^2+7x-9}\right]^{-3x-4}$. Далее $\dfrac{5x^2+7x-9}{x-14} = \dfrac{5(x-14)^2+147x-989}{x-14} = 5(x-14)+ 147+\dfrac{1069}{x-14}$$\left[1-\dfrac{x-14}{5x^2+7x-9}\right]^{-3x-4} = \left[1-\dfrac{x-14}{5x^2+7x-9}\right]^{\frac{5x^2+7x-9}{x-14}-8x-81-\frac{1069}{x-14}}$. Теперь можем разбить на произведение нескольких частей: $\left[1-\dfrac{x-14}{5x^2+7x-9}\right]^{\frac{5x^2+7x-9}{x-14}}\left[1-\dfrac{x-14}{5x^2+7x-9}\right]^{-8x-81}\left[1-\dfrac{x-14}{5x^2+7x-9}\right]^{-\frac{1069}{x-14}}}$. Предел при $x\to \infty$ первого множителя равен $e^{-1}$, а последнего множителя -- $1$. Второй множитель очень напоминает исходный, он отличается в $8/3$ раза (на постоянную $-81$ можно забить, она потом перейдет в единицу точно так же, как и последний множитель). Искомый предел равен $L = e^{-1}\cdot L^{8/3} \Rightarrow L^{-5/3} = e^{-1} \Rightarrow L = e^{\frac{3}{5}}$.