Question

Вероятность изготовления стандартной детали равна 0.5. Какова вероятность того, что среди 120 деталей окажутся:
а) 60 стандартных деталей
б) не менее 60 стандартных деталей

С решением.

Answer 1

Для больших чисел n используется локальная теорема Лапласа (все сведения в учебных материалах либо в интернете)

Вероятность успеха в одном испытании $\rm p={0\mbox,5}$, соответствующая вероятность $\rm q=1-p={0\mbox,5}$. Всего испытаний $\rm n=120$.

а) $\rm x=\dfrac{k-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{60-120\cdot 0.5}{\sqrt{120\cdot 0.5\cdot 0.5}}=0$

$\rm P_{120}(k=60)=\dfrac{1}{\sqrt{npq}}\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{120\cdot 0.5^2}}\cdot {0\mbox,3989}\approx{0\mbox,073}$

б) Здесь применим интегральную теорему Лапласа

$\rm x_1=\dfrac{k_1-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{60-120\cdot {0\mbox,5}}{\sqrt{120\cdot{0\mbox,5}\cdot{0\mbox,5}}}=0$

$\rm x_2=\dfrac{k_1-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{120-120\cdot {0\mbox,5}}{\sqrt{120\cdot{0\mbox,5}\cdot{0\mbox,5}}}\approx{10\mbox,95}$

$\rm P_{120}(60\leqslant k\leqslant 120)=\Phi({10\mbox,95})-\Phi(0)\approx{0\mbox,5}-0={0\mbox,5}$