Question

Решить дифференциальное уравнение x*y''+y'+x=0 у(1)=0,5. y’(1)=0

Answer 1

$\rm xy''+y'=-x$

$\rm \Big(x\cdot y'\Big)'=-x$

Проинтегрируем обе части уравнения

$\rm x\cdot y'=\displaystyle \int -x\,\, dx\\\\x\cdot y'=-\dfrac{x^2}{2}+C_1\\ \\ y'=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C_1}{x}$

Опять же проинтегрировав обе части уравнения, получим:

$\rm \displaystyle y=\int \left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C_1}{x}\right)dx\\\\ y=-\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{C_1}{x^2}+C_2$

Определим константы $\rm C_1$ и $\rm C_2$, подставив начальные условия.

$\rm \displaystyle \left \{ {{0=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{C_1}{1}} \atop {\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1^2}{4}-\dfrac{C_1}{1^2}+C_2}} \right. \Rightarrow~\left \{ {{C_1=\dfrac{1}{2}} \atop {C_2=-\dfrac{1}{4}}} \right.$

Искомое частное решение: $y=-\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{1}{2x^2}-\dfrac{1}{4}$