Question

Решите неравенство. ​

Answer 1

Ответ:

(- ∞;$\log{_3}(2-\sqrt{3} )$] ∪${\log{_3}(2+\sqrt{3} ; \log{_3}5]$

Пошаговое объяснение:

$(9^{x} -4\cdot3^{x} )^{2} -4\cdot (9^{x} -4\cdot3^{x} )-5\leq 0;$

Пусть $9^{x} -4\cdot3^{x} =t,$ тогда неравенство  принимает вид :

$t^{2} -4t-5\leq 0;\\t^{2} -4t-5=0;\\D= (-4) ^{2} -4\cdot1\cdot(-5)= 16+20=36=6^{2} ;\\\\t{_1}= \dfrac{4-6}{2} =-\dfrac{2}{2} =-1;\\\\t{_2}= \dfrac{4+6}{2} =\dfrac{10}{2} =5;\\\\(t+1)(t-5) \leq 0;\\\\-1\leq t\leq 5.$

Тогда получим двойное неравенство$-1\leq 9^{x} -4\cdot3^{x} \leq 5$,

которое равносильно системе неравенств

$\left \{\begin{array}{l} 9^{x}-4\cdot3 ^{x} \geq -1 ,\\9^{x}-4\cdot3 ^{x} \leq 5 ;\end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} 9^{x}-4\cdot3 ^{x} +1 \geq 0 ,\\9^{x}-4\cdot3 ^{x} -5\leq 0 ;\end{array} \right.$

Решим первое неравенство системы

$9^{x}-4\cdot3 ^{x}+1 \geq 0;\\ 3^{2x}-4\cdot3 ^{x}+1 \geq 0$

Пусть $3^{x} =t,t>0$  Тогда неравенство  принимает вид:

$t^{2} -4t+1\geq 0;\\t^{2} -4t+1=0;\\D= (-4) ^{2} -4\cdot1\cdot1 =16-4=12 ;\\t{_1}= \dfrac{4+\sqrt{12} }{2} =\dfrac{4+2\sqrt{3} }{2}=\dfrac{2\cdot( 2+\sqrt{3}) }{2}=2+\sqrt{3} ;\\\\t{_2}= \dfrac{4-\sqrt{12} }{2} =\dfrac{4-2\sqrt{3} }{2}=\dfrac{2\cdot( 2-\sqrt{3}) }{2}=2-\sqrt{3}$

$\left [\begin{array}{l} t\leq 2-\sqrt{3} \\ t\geq 2 +\sqrt{3} \end{array} \right.$

Тогда

$\left [\begin{array}{l} 3^{x} \leq 2-\sqrt{3}, \\ 3^{x} \geq 2 +\sqrt{3};\end{array} \right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} x \leq\log{_3} ( 2-\sqrt{3}), \\ x\geq \log{_3} ( 2+\sqrt{3}) \end{array} \right.$

Решим второе неравенство системы

$9^{x}-4\cdot3 ^{x}-5 \leq 0;\\ 3^{2x}-4\cdot3 ^{x}- 5 \leq 0$

Пусть$3^{x} =t,t>0$.   Тогда неравенство  принимает вид:

$t^{2} -4t-5\leq 0;\\t^{2} -4t-5=0;\\D= (-4) ^{2} -4\cdot1\cdot(-5) =16+20=36 ;\\\\t{_1}= \dfrac{4+6 }{2} =\dfrac{10 }{2}=5;\\\\\\t{_2}= \dfrac{4-6 }{2} =\dfrac{-2 }{2}=-1.$

$-1\leq t\leq 5$

$-1\leq 3^{x} \leq 5;\\3^{x} \leq 5;\\x\leq \log{_3} 5$

Найдем общее решение системы

x∈ (- ∞; $\log{_3}(2-\sqrt{3} )$ ]  ∪${\log{_3}(2+\sqrt{3} ; \log{_3}5]$