Question

Ответы без решения не принимаются ; желательно в тетради или в latex решить

Answer 1

Есть известная формула так называемая формула дополнительного угла (в интернете можете почитать об этом). Запишу кратко формулу:

$\boxed{a\sin kx\pm b\cos kx=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(kx\pm\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}$

$\dfrac{\sqrt{3}\cos2\alpha+\sin2\alpha}{\cos\alpha+\sqrt{3}\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\sin\left(2\alpha+\arcsin\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}}\right)}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}\sin\left(\alpha+\arcsin\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}\right)}=$

$=\dfrac{\sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)}=\dfrac{2\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)}=2\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)$