Question

Докажите, что n⁵-n делится на 10 при любом натуральном n

Answer 1

n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²+1)(n²-1)=n(n²+1)(n+1)(n-1)

(n-1), n, (n+1) – три последовательных числа, среди которых есть либо два чётных и одно нечётное, либо одно чётное и два нечётных, поэтому их произведение всегда является чётным.

Пусть n=5х, тогда (n-1)·n·(n+1) кратно 5;

если n=5х+1, то (n-1)=5х(n-1)·n·(n+1) кратно 5;

если n=5х+2, то (n²+1)=(5х+2)²+1=25х²+20х+4+1=25х²+20х+5=5(5х²+4х+1) кратно 5 и (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 5;

если n=5х+3, то (n²+1)=(5х+3)²+1=25х²+30х+9+1=25х²+30х+10=5(5х²+6х+2) кратно 5 и (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 5;

если n=5х+4, то n+1=5х+4+1=5х+5=5(х+1) кратно 5

(n-1)n(n+1)(n²+1) кратно 5.

Т.е, (n-1)n(n+1)(n²+1) кратно 5 при любом значении n.

Тогда если (n-1)n(n+1)(n²+1) кратно 2 и 5, то оно кратно 10.