Question

Петя хочет переписать числа 2, 3, 4, ..., 51, в другом порядке так, чтобы первое выписанное число делилось на 1, второе — на 2, третье — на 3, и так далее (последнее число должно делиться на 50). Сколькими способами он может это сделать?

Answer 1

Рассмотрим числа $26,\ldots,50$. Заметим, что $j$-ое число ($26\leq j\leq 50$) должно делиться на $j$, а потому обязано совпадать с $j$. Итак, все числа с $26$ по последнее определяются тем самым однозначно. Теперь рассмотрим числа с $1$ по $25$-ое. Понятно, что $25$-ое должно делиться на $25$, но при этом не может быть равным $50$, поскольку это число уже занято. Значит, $25$-ое число равно $25$. По такой логике дойдем до числа $17$ (поскольку число $51$ еще никуда не ставили). На это место можно поставить $17$ или $51$. Если поставить $17$, то оставшиеся числа до числа $3$ определятся однозначно, а на место $3$ снова можно поставить $51$. Итого три варианта: поставить $51$ на первое место, на $3$-е место или на $17$-е место.