Question

В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом
ABC вписан прямоугольный треугольник СКВ.
Катеты треугольника АВС имеют размер 45 и 60 см.
Отрезок KA на 21 см больше отрезка СК. Найдите
Отношение площадей двух треугольников. Ответ
Округлите до десятых.

Answer 1

Ответ:

Так как вписан прямоугольный треугольник CKB угол CKB — прямой, а следовательно и угол AKB тоже прямой, так как они смежные.

CB=45 и AB=60 — катеты, AC — гипотенуза

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

${AC}^{2} = {45}^{2} + {60}^{2} \\ {AC}^{2} = 2025 + 3600 \\ {AC}^{2} = 5625 \\ AC = \sqrt{5625} \\ AC = 75$

CK+KA=75

KA=CK+21

CK+(CK+21)=75

2CK=75-21

2CK=54

CK=27

KA=27+21=48

Найдем длину BK по той же теореме Пифагора:

CB²=CK²+BK²

BK²=CB²-CK²

$BK = \sqrt{ {45}^{2} - {27}^{2}} \\ BK = \sqrt{2025 - 729} \\ BK = \sqrt{1296} \\ BK = 36$

Найдем площадь треугольника AKB по формуле S=(ab)/2, где a и b катеты

$S_{ΔAKB} = \frac{48 \times 36}{2} = 48 \times 18 = 864$

Теперь найдем площадь треугольника CKB:

$S_{ΔCKB} = \frac{27 \times 36}{2} = 27 \times 18 = 486$

Отношение площадей треугольников AKB и CKB

$\frac{S_{ΔAKB}}{S_{ΔCKB}} = \frac{864}{486} = \frac{16}{9}$

S(ΔAKB):S(ΔCKB) = 16:9