Question

5. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 24 см. Знайдіть радіуси вписаногоі описаного кіл.​

Answer 1

Ответ:

r = 6 см

$R=\dfrac{15\sqrt{41}}{8}$ см

Объяснение:

Трапеция вписана в окружность, значит она равнобедренная.

AB = CD.

Трапеция описана около окружности, значит суммы противоположных сторон равны.

AB + CD = AD + BC = 24 + 6 = 30 см

AB = CD = 30 : 2 = 15 см

Проведем высоту СН.

По свойству равнобедренной трапеции отрезок HD равен полуразности оснований:

HD = 0,5 · (AD - BC) = 0,5 · (24 - 6) = 0,5 · 18 = 9 см

ΔCHD:  ∠CHD = 90°, по теореме Пифагора

 CH = √(CD² - HD²) = √(15² - 9²) = √(225 - 81) = √144 = 12 см

• Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

r = 0,5 CH = 0,5 · 12 = 6 см

ΔCHD:  ∠CHD = 90°

$\cos\alpha =\dfrac{HD}{CD}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}=0,6$

$\sin\alpha =\dfrac{CH}{CD}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}=0,8$

Из ΔACD по теореме косинусов:

AC² = AD² + CD² - 2 · AD · CD · cosα

AC² = 24² + 15² - 2 · 24 · 15 · 0,6

AC² = 576 + 225  - 432 = 369

AC = √369 = 3√41 см

Треугольник ACD вписан в ту же окружность, что и трапеция.

По следствию из теоремы синусов:

$\dfrac{AC}{\sin\alpha}=2R$

$R=\dfrac{AC}{2\sin\alpha}=\dfrac{3\sqrt{41}}{2\cdot 0,8}$

$R=\dfrac{3\sqrt{41}}{1,6}=\dfrac{30\sqrt{41}}{16}=\dfrac{15\sqrt{41}}{8}$ см