Question

y''+2y'+10y=17sinx

================

Answer 1

$y''+2y'+10y=17\sin x$

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения данного неоднородного уравнения.

Составим и решим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y''+2y'+10y=0$

Характеристическое уравнение:

$\lambda^2+2\lambda+10=0$

$D_1=1^2-1\cdot10=-9$

$\lambda=-1\pm3i$

Решение записываем в виде:

$Y=e^{\alpha x}(C_1\sin\beta x+C_2\cos\beta x)$, где $\alpha =-1;\ \beta =3$

$Y=e^{-x}(C_1\sin3x+C_2\cos3x)$

Находим частное решение данного неоднородного уравнения. Это решение ищем в виде:

$\overline{y}=A\sin x+B\cos x$

Найдем первую и вторую производную:

$\overline{y}'=A\cos x-B\sin x$

$\overline{y}''=-A\sin x-B\cos x$

Подставим все соотношения в исходное уравнение:

$-A\sin x-B\cos x+2(A\cos x-B\sin x)+10(A\sin x+B\cos x)=17\sin x$

$-A\sin x-B\cos x+2A\cos x-2B\sin x+10A\sin x+10B\cos x=17\sin x$

$(-A-2B+10A)\sin x+(-B+2A+10B)\cos x=17\sin x$

$(9A-2B)\sin x+(2A+9B)\cos x=17\sin x$

Переходим к системе:

$\begin{cases} 9A-2B=17\\ 2A+9B=0\end{cases}$

Решаем систему способом сложения:

$\begin{cases} 81A-18B=153\\ 4A+18B=0\end{cases}$

$85A=153$

$A=\dfrac{153}{85} =\dfrac{9}{5}$

$B=-\dfrac{2}{9}A=-\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{9}{5}=-\dfrac{2}{5}$

Таким образом, частное решение:

$\overline{y}=\dfrac{9}{5} \sin x-\dfrac{2}{5} \cos x$

Записываем общее решение исходного уравнения:

$y=Y+\overline{y}$

$\boxed{y=e^{-x}(C_1\sin3x+C_2\cos3x)+\dfrac{9}{5} \sin x-\dfrac{2}{5} \cos x}$