Question

помогите решить пожалуйста тригонометрическое уравнение

3sin(x)-cos(2x)+2cos(x)^2+2=0

Answer 1

$3\sin(2x)-\cos(2x)+2\cos^2(x) + 2 =0$

Применим известные формулы для тригонометрических функций удвоенных аргументов:

$\sin(2\alpha ) = 2\sin(\alpha )\cos(\alpha )\\\cos(2\alpha )=\cos^2(\alpha )-\sin^2(\alpha )$

-------------------------------------

$6\sin(x)\cos(x)-\cos^2(x)+\sin^2(x)+2\cos^2(x) +2(\sin^2(x)+cos^2(x)) =0\\3\sin^2(x)+3\cos^2(x)+6\sin(x)\cos(x) =0$

Перед нами однородное уравнение второй степени, имеем право поделить обе его части на $\cos^2(x) \neq 0$(нужно вспомнить, что $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)$ )

$3\tan^2(x) + 6\tan(x)+3=0\\\tan^2(x)+2\tan(x)+1=0\\(\tan(x)+1)^2=0\\\tan(x)=-1\\x = -\frac{\pi}{4}+\pi k, k \in \mathbb{Z}\\Ans: x = -\frac{\pi}{4}+\pi k, k \in \mathbb{Z}$