Question

Подскажите как решать, пожалуйста!
Спасибо!

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=\log_\frac{1}{2}(x-1)$

(при решении для удобства будем делать замены)

Пусть $2\sqrt{x-1}=z$ и $\log_\frac{1}{2}(x-1)=t$ ⇒ $\sqrt{x-z}+\sqrt{x+z}=t$

$t<0$: корней нет (очевидно).

$t\ge0$: (⇒ $x\in(1;\;2]$):

$x-z+2\sqrt{x^2-z^2}+x+z=t^2\\x+\sqrt{x^2-z^2}=\dfrac{t^2}{2}=m$

Подставляем $z$:

$x+\sqrt{x^2-4x+4}=m$

Замечаем, что $x^2-4x+4=(x-2)^2$.

Причем, так как у нас $x\in(1;\;2]$, модуль раскрывается однозначно:

$x+2-x=m$ ⇒ $m=2$

Вернемся от $m$ к иксам:

$m=\dfrac{t^2}{2}=\dfrac{\log\limits_\frac{1}{2}^2(x-1)}{2}$

То есть уравнение свелось к виду:

$\log\limits_\frac{1}{2}^2(x-1)=4$

У нас выше показано, что $t\ge0$.

Значит будет только:

$\log_\frac{1}{2}(x-1)=2$

Решая это уравнение получаем, что $x=\dfrac{5}{4}$.

Уравнение решено!

Answer 2

Ответ:

x=5/4=1.25

Объяснение:

Корень квадратный сам по себе неотрицателен (√4=2, √9=3 и т.д.), то есть √х≥0 и сумма корней тоже величина неотрицательна.

Так как левая часть уравнения у нас неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной. Поэтому, прежде чем решать уравнение, сделаем ограничение на правую часть (надо чтобы она была неотрицательной)

$\log_{\frac{1}{2} }(x-1)\geq 0 \ \Leftrightarrow \ \left\{\begin{matrix} x-1>0 \\ x-1 \leq \left( \frac{1}{2} \right)^0 \end{matrix}\right. \ \Leftrightarrow \ \left\{\begin{matrix} x>1 \\ x-1 \leq 1 \end{matrix}\right. \ \Leftrightarrow \ \left\{\begin{matrix} x>1 \\ x \leq 2 \end{matrix}\right. \ \Leftrightarrow \ \\ \\ \Leftrightarrow 1<x\leq 2$

Таким образом, все корни мы будем искать в этом промежутке

Решение:

Мы выяснили, что обе части неравенства неотрицательны, значит мы можем их возвести в квадрат:

$\left( \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}\right)^2=\left( \log_{\frac{1}{2} }(x-1) \right)^2 \\ \\ x-2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+x+2\sqrt{x-1}= \log^2_{\frac{1}{2} }(x-1)$

$2x+2 \sqrt{(x-2\sqrt{x-1})(x+2\sqrt{x-1})}=\log^2_{\frac{1}{2} }(x-1) \\ \\ 2x+2\sqrt{x^2-(2\sqrt{x-1})^2}=\log^2_{\frac{1}{2} }(x-1) \\ \\ 2x+2\sqrt{x^2-4(x-1)} =\log^2_{\frac{1}{2} }(x-1) \\ \\ 2x+2\sqrt{x^2-4x+4}=\log^2_{\frac{1}{2} }(x-1) \\ \\ 2x+2\sqrt{(x-2)^2}=\log^2_{\frac{1}{2} }(x-1)\\ \\ 2x+2|x-2|=\log^2_{\frac{1}{2} }(x-1)$

Мы рассматриваем только 1<x≤2, и при подстановки любого икса из этого промежутка под модулем получается отрицательное число, значит этот модуль мы раскрываем с противоположным знаком, то есть |x-2|=-(x-2)=-x+2=2-x

$2x+2(2-x)=\log^2_{\frac{1}{2} }(x-1) \\ \\ 2x+4-2x=\log^2_{\frac{1}{2} }(x-1) \\ \\ \log^2_{\frac{1}{2} }(x-1)=4$

$\left[ \begin{gathered} \log_{\frac{1}{2} }(x-1)=2 \\ \log_{\frac{1}{2} }(x-1)=-2 \end{gathered} \right. \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{gathered} x-1=\left( \frac{1}{2} \right)^2 \\ x-1=\left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \end{gathered} \right. \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{gathered} x-1= \frac{1}{4} \\ x-1=4 \end{gathered} \right. \ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \ \left[ \begin{gathered} x= \frac{5}{4} \\ x=5 \end{gathered} \right.$

x=5 - не подходит под наш промежуток (1;2], значит корень только x=5/4

Конечно, при решении мы еще не учли ОДЗ квадратных корней, поэтому остается просто подставить x=5/4 в исходное уравнение и убедится, что он нам подходит

Проверка:

$\sqrt{\frac{5}{4} -2\sqrt{\frac{5}{4}-1}}+\sqrt{\frac{5}{4}+2\sqrt{\frac{5}{4}-1}}= \log_{\frac{1}{2} } \left(\frac{5}{4}-1)\right \\ \\ \sqrt{\frac{5}{4} -2\sqrt{\frac{1}{4}}}+\sqrt{\frac{5}{4}+2\sqrt{\frac{1}{4}}}= \log_{\frac{1}{2} } \frac{1}{4} \\ \\ \sqrt{\frac{5}{4} -2*\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{5}{4}+2*\frac{1}{2}}=2 \\ \\ \sqrt{\frac{5}{4} -1}+\sqrt{\frac{5}{4}+1}= 2 \\ \\ \sqrt{\frac{1}{4} }+\sqrt{\frac{9}{4}}= 2 \\ \\ \frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2 \\ \\ \frac{4}{2}=2 \\ \\ 2=2$

Проверка пройдена!