Question

В треугольнике DEX на стороне EX отметили точку P, а затем на отрезке PX – отметили точку M так, что угол PDM в два раза меньше угла EDX. На луче DE отметили точку O так, что углы OPD и DPX равны. На луче DX отметили точку K так, что равны углы KMD и DME. Докажите, что OP+KM=PM. ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Дано: ΔDEX;

∠EDX = 2∠PDM;

∠OPD = ∠DPX; ∠KMD = ∠DME;

Доказать: OP + KM = PM

Доказательство:

Дополнительное построение.

Отложим отрезок РА = РО.

1. Рассмотрим ΔDOP и ΔDPA.

PA = PO (построение);

∠OPD = ∠DPX (условие)

DP - общая.

⇒ ΔDOP = ΔDPA (по двум сторонам и углу между ними. 1 признак)

• В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

⇒ ∠ODP = ∠PDA

2. Пусть ∠ODP = α, а ∠MDX = β.

∠EDX = 2∠PDM (по условию)

⇒ ∠PDM = α + β

∠ODP = ∠PDA = α (п.1)

⇒ ∠ADM = ∠PDM - ∠PDA = α + β - α = β

3. Рассмотрим ΔDAM и ΔDMK.

∠ADM = ∠MDK = β (п.2)

∠KMD = ∠DME (условие)

DM - общая.

⇒ ΔDAM = ΔDMK (по стороне и двум прилежащим углам. 2 признак)

• В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

⇒ АМ = МК

4. РМ = РА + АМ или РМ = PO + KM.