Question

Через вершину С равностороннего треугольника ABC проведена произвольная прямая, К и М — проекции А и В на эту прямую, Р — середина АВ. Докажите, что треугольник КМР— равносторонний.

Answer 1

***Обозначения в решении не соответствуют данным в условии

Легко видеть, что точки $C,B,G,E$ лежат на одной окружности, поскольку углы $CEB$ и  $CGB$, опирающиеся на один отрезок, прямые. Аналогично, точки $C, A, F, G$ лежат на одной окружности. Теперь заметим, что радиусы этих двух окружностей равны, поскольку равны их диаметры ($AC=CB$). Но тогда $FG = CA\sin \angle FCG = CB\sin\angle ECG = EG$. Следовательно, треугольник $EGF$ -- равнобедренный. Осталось доказать, что хотя бы один из его углов равен 60 градусов. Действительно, $\angle GEB = \angle GCB = 30^{\circ}$, значит, $\angle FEG = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$, что и требовалось.