Question

50
1 и 2
_._._._._._._._​

Answer 1

Ответ:

1) $\boxed{S = 9}$ квадратных единиц

2) $\boxed{S = 9}$ квадратных единиц

Объяснение:

1)

По условию фигура ограничена линиями:

$y = -2x^{2} + 7x$

$y = 3,5 - x$

Найдем пределы интегрирования:

$-2x^{2} + 7x = 3,5 -x$

$2x^{2} - 8x + 3,5 = 0| \cdot 2$

$4x^{2} - 16x + 7 = 0$

$D = 256 - 4\cdot 4 \cdot 7 = 256 - 112 = 144 = 12^{2}$

$x_{1} = \dfrac{16 + 12}{2\cdot 4} = \dfrac{28}{8} = 3,5$

$x_{2} = \dfrac{16 - 12}{2\cdot 4} = \dfrac{4}{8} = 0,5$

$a = 0,5$

$b = 3,5$

Так как график $y = -2x^{2} + 7x$ "расположен выше" графика $y = 3,5 - x$, а пределы интегрирования от 0,5 до 3,5 то:

$S = \displaystyle \int\limits^{3,5}_{0,5} {((-2x^{2} + 7x) - (3,5 - x))} \, dx = \displaystyle \int\limits^{3,5}_{0,5} {(-2x^{2} + 7x - 3,5 + x)} \, dx =$

$= \displaystyle \int\limits^{3,5}_{0,5} {(-2x^{2} + 8x - 3,5)} \, dx = \left (-2\cdot \dfrac{x^{3}}{3} + 8 \cdot \dfrac{x^{2}}{2} - 3,5x \right) \bigg | _{0,5}^{3,5} =$

$= \left( -2\cdot \dfrac{x^{3}}{3} \bigg | _{0,5}^{3,5} \right) + \left ( 4x^{2} \bigg | _{0,5}^{3,5} \right) - \left( 3,5x \bigg | _{0,5}^{3,5} \right) =$

$= -2 \left( \dfrac{3,5^{3}}{3} - \dfrac{0,5^{3}}{3} \right) + 4 ( 3,5^{2} - 0,5^{2}) - 3,5(3,5 - 0,5) =$

$= -2 \left( \dfrac{42,875}{3} - \dfrac{0,125}{3} \right) + 4 ( 12,25 - 0,25) - 3,5 \cdot 3=$

$= -2 \left( \dfrac{42,875 - 0,125}{3} \right) + 4 \cdot 12 - 3,5 \cdot 3 = -2 \left( \dfrac{42,75 }{3} \right) + 48 - 10,5 =$

$= -\dfrac{85,5}{3} + 37,5 = -28,5 + 37,5 = 9$ квадратных единиц.

2)

По условию фигура ограничена линиями:

$y = x^{2}$

$y = 0$

$x = 3$

Найдем пределы интегрирования:

$x^{2} = 0 \Longrightarrow x = 0$

$a = 0$

$b = 3$

Так как график $y = x^{2}$ "расположен выше" графика $y = 0$, а пределы интегрирования от 0 до 3 то:

$S = \displaystyle \int\limits^{3}_{0} {(x^{2} )- (0)} \, dx = \displaystyle \int\limits^{3}_{0} {x^{2} } \, dx = \dfrac{x^{3} }{3} \bigg | _{0}^{3} = \dfrac{1}{3} \left (3^{3} - 0^{3} \right) = \dfrac{27}{3} = 9$ квадратных единиц.