Question

Помогите решить предел методом Лопиталя, пожалуйста)
Прикрепил скрин

Answer 1

$x(e^{\frac{3}{x}}-1) = \dfrac{e^{\frac{3}{x}}-1}{\dfrac{1}{x}}$; Получили неопределенность вида $\dfrac{0}{0}$. Осталось заметить, что $e^{\frac{3}{x}}-1$ и $\dfrac{1}{x}$ дифференцируемы, скажем, в окрестности $(1,+\infty)$, ни в какой точке этой окрестности бесконечности функция $(1/x)' = -1/x^2$ не обращается в нуль, а предел $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{-\dfrac{3}{x^2}e^{\frac{3}{x}}}{-1/x^2}$ существует и равен $3$. Следовательно, этому же значению равен и исходный предел (по теореме Лопиталя).