Question

Решите уравнение |3х^2+7х|-6=0.

Answer 1

$|3x^2+7x|-6=0$

Раскроем модуль.

Первый случай. Пусть $3x^2+7x\geqslant 0$. Тогда:

$3x\left(x+\dfrac{7}{3} \right)\geqslant 0$

$x\in\left(-\infty;\ -\dfrac{7}{3}\right]\cup\left[0 ;\ +\infty\right)$

Раскрываем модуль при этом условии без смены знака:

$3x^2+7x-6=0$

$D=7^2-4\cdot3\cdot(-6)=49+72=121$

$x_1=\dfrac{-7-\sqrt{121} }{2\cdot3} =\dfrac{-7-11 }{6} =-3$

$x_2=\dfrac{-7+\sqrt{121} }{2\cdot3} =\dfrac{-7+11 }{6} =\dfrac{2}{3}$

Оба корня удовлетворяют условию раскрытия модуля, поэтом они идут в ответ.

Второй случай. Пусть $3x^2+7x<0$. Соответственно, тогда:

$x\in\left(-\dfrac{7}{3};\ 0\right)$

Раскрываем модуль при этом условии со сменой знака:

$-3x^2-7x-6=0$

$3x^2+7x+6=0$

$D=7^2-4\cdot3\cdot6=49-72<0$

Поскольку дискриминант отрицательный, то второй случай не дает новых корней.

Таким образом, уравнение имеет только два корня.

Ответ: -3 и 2/3