Question

Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АD, перпендикулярная к плоскости треугольника. А)докажите, что треугольник CBD прямоугольный. б) найдите BD, если ВС=а, DC=b.

Answer 1

а) Покажем, что плоскость $(DAC)$ перпендикулярна плоскости треугольника, то есть $(DAC)\perp (ABC)$. Действительно, эта плоскость содержит прямую, перпендикулярную этой плоскости. Тогда $BC \perp (DAC)$. В самом деле, плоскость $(ABC)$ содержит прямую $l$, перпендикулярную $(DAC)$, в частности, такая прямая перпендикулярна и $AC$, потому $l \parallel BC \Rightarrow BC\perp (DAC)$. Но тогда $BC$ перпендикулярен любой прямой и в частности $DC$.

б) Ну тут сразу ясно, что $BD = \sqrt{a^2+b^2}$.