Question

Ребята, у меня в садике К/Р была, я не знаю как задачу решить, обьясните...


Докажите, что выражение делится на 9 при любом натуральном n:

$2^{2n-1}+3n-5$

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) Определим значения выражения $2^{2n-1}+3n-5$ при различных значениях $n \in{N}$как последовательность

$a_{n}=2^{2n-1}+3n-5$

2) Определим значения членов $a_n$ последовательности при n=1, n=2, n = 3:

$a_1=2^{2\cdot1-1}+3\cdot1-5 = {2} + 3 - 5 = 0 \\ a_2=2^{2\cdot2-1}+3\cdot2-5 = {2}^{3} + 6 - 5 = 9 \\ a_3=2^{2\cdot3-1}{+}3{\cdot}3{-}5{=}{2}^{5} { +}9 {-} 5 =32{ +} 4{ =}36$

3) Применим метод математической индукции.

3a) Возьмем такой член $a_n$, который кратен 9 (как мы убедились выше, такое $a_n$ существует (например, а3))

Т.к. он кратен 9, обозначим его как

$a_n=9k \:\:\:<=> \:\:\:2^{2n-1}+3n-5=9k$

3b) Вычислим значение $a_{n+1}$,

$a_{n} = 2^{2n-1}+3n-5 = 9k \\ \\ a_{n + 1} = 2^{(2n + 2)-1}+3(n + 1)-5 = \\ = 2^{2n + 1}+3n + 3-5 = \\ =4 \cdot2^{2n - 1}+4 \cdot3n - 3 \cdot3n-4 \cdot5 +3 \cdot5 + 3 = \\ =(4 \cdot2^{2n - 1}+4 \cdot3n -4 \cdot5) - 3 \cdot3n+3 \cdot5 + 3 = \\ = 4 \cdot(2^{2n - 1} + 3n - 5) - 9n + 15 + 3 = \\ = 4 \cdot(2^{2n - 1} + 3n - 5) - 9\cdot( n - 2) = \\ = 4 \cdot9\cdot{k} - 9 \cdot(n - 2) = 9 \cdot(4{k} - (n - 2)) \\ = 9 \cdot(4{k} - n + 2)$

Как мы видим, мы получили, что $a_{n+1}$ равно произведению, один из множителей которого равен 9, а следовательно, $a_{n+1}$ также кратен 9 Следовательно кратность 9 справедлива и для последующих значений последовательности.

Что и требовалось доказать