Question

Найдите все тройки целых чисел x,y,z удовлетворяющих неравенству

Answer 1

Во-первых, отметим, что аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля, но поскольку аргументы -- целые числа, то они должны быть хотя бы $1$. С другой стороны, как нетрудно заметить, их сумма равна $3$. Стало быть, каждый из них равен единице: $\begin{cases}2x+3y-6z=-2\\ 3x-5y+2z=3 \\2y+4z-5x=-1\end{cases}$

Детерминант $\Delta = \det\left \left(\begin{array}{ccc}2&3&-6\\3&-5&2\\-5&2&4\end{array}\right \right) = 0$ (-(1 строка) - (2 строка) = (3 строка)). Решение можно параметризовать: $(7/11+12/11t,\;t,\;6/11+19/22t)$, откуда $12t+7$ должно делиться на $11$, а $19t+12$ должно делиться на $22$. Тогда $t=2k$, потому $24k+7 \equiv 0\mod 11 \;\wedge\; 19k+6 \equiv 0\mod 11$. Из первого $k\equiv 2\mod 11$, а из второго -- $k\equiv 2\mod 11$. Итак, $k=11n+2 \Rightarrow t = 22n+4$, поэтому решение переписывается в виде $(5+24n,\;22n+4,\;4+19n)$.  Итак, слева у исходного неравенства стоит нуль, а справа -- $z^2-9z+17$. Получаем, что $z^2-9z+17<0 \Leftrightarrow z\in\left(\dfrac{9-\sqrt{13}}{2},\;\dfrac{9+\sqrt{13}}{2}\right)\supset [3,\;6]$, а потому подходит только $n=0$ и соответствующая тройка $(5,4,4)$.