Question

Если количество положительных четных делителей 337500 равно N, а количество положительных нечетных делителей равно M, то N-M =?
варианты:
А 28  

B 48  

C 24  

D 11

​

Answer 1

Четный делитель рассматриваемого числа имеет вид $2^{\alpha}s$, где $\alpha>0$ и $s$ нечетно, причем ясно, что $s$ -- нечетный делитель числа. Сопоставим каждому нечетному делителю $s$ какое-нибудь число $\alpha$. Тогда пусть $m$ -- максимальная степень двойки, которая делит $n$, а $s_{1},\ldots,s_{k}$ -- все нечетные делители числа $n$. В таком случае $2^{i}s_{j},\;i=\overline{1,m},\;j=\overline{1,k}$ -- все четные делители числа $n$. Нетрудно видеть, что их в точности $mk$. Получается $N-M \stackrel{M=k}{=} N-k = mk-k = k(m-1) = k$. Эта величина, очевидно, равна количеству делителей числа $3375\cdot 25 = 3^3\cdot 5^5 \Rightarrow \#_{\text{divisors}} = (3+1)(5+1)=24;\;\fbox{C) \;24}$