Question

Используя предварительное логарифмирование, найдите производные следующих функций:
$y=\sqrt{cos(x)}a^{\sqrt{cos(x)}}$

Answer 1

Ответ:

$y'=-\sqrt{\cos{x}}a^{\sqrt{\cos{x}}}\cdot\dfrac{\sin{x}+\sin{x}\sqrt{\cos{x}}\ln{a}}{2\cos{x}}$

Пошаговое объяснение:

$\ln{y}=\ln{\sqrt{\cos{x}}a^{\sqrt{cos{x}}}}\\\ln{y}=\dfrac{1}{2}\ln{\cos{x}}+\sqrt{\cos{x}}\ln{a}\\(\ln{y})'=\left(\dfrac{1}{2}\ln{\cos{x}}+\sqrt{\cos{x}}\ln{a}\right)'\\\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{\sin{x}}{2\cos{x}}-\dfrac{\sin{x}}{2\sqrt{\cos{x}}}\ln{a}\\y'=-y\cdot\left(\dfrac{\sin{x}+\sin{x}\sqrt{\cos{x}}\ln{a}}{2\cos{x}}\right)\\y'=-\sqrt{\cos{x}}a^{\sqrt{\cos{x}}}\cdot\dfrac{\sin{x}+\sin{x}\sqrt{\cos{x}}\ln{a}}{2\cos{x}}$