Question

Если к трехзначному числу справа приписать цифру 1, то оно будет в 3 раза больше числа, полученного из исходного трехзначного числа, если к нему слева приписать цифру 2. Найдите сумму цифр исходного трехзначного числа

помогите пожалуйста, нужно с объяснением что и как!!!​

Answer 1

Ответ:

20

Пошаговое объяснение:

Любое трехзначное число можно представить в виде:

$\overline{xyz}=100x + 10y + z$

где х - цифра сотен,

y - цифра десятков,

z - цифра единиц

Если к трехзначному числу справа приписать цифру 1, то мы получим четырехзначное число вида:

$\overline{xyz1}=1000x + 100y + 10z + 1$

А если к исходному числу слева приписать цифру 2, то мы получим четырехзначное число вида:

$\overline{2xyz}=2000 + 100x + 10y + 1z$

Также известно, что

$\overline{xyz1}=3 \cdot\overline{2xyz}$

Смотрим. На конце бОльшего числа стоит 1.

Единственная цифра, которая при умножении на 3 дает число с "1" в конце - это 7.

Отсюда можно сделать вывод, что

z = 7

Далее. Мы получили следующее:

$\overline{xy71}=3 \cdot\overline{2xy7}$

Видим, что некое число у7 при умножении на 3 дает число, оканчивающееся на 71

$\overline{ \: y7 \: }\cdot3=\overline{*71}$

Если вычесть результат умножения 7 на 3, получаем:

$\overline{ \: y0 \: }\cdot3 + 7\cdot3=\overline{*71} \\ \overline{ \: y0 \: }\cdot3 +21=\overline{*71} \\ \overline{ \: y0 \: }\cdot3 =\overline{*71} - 21\\ \overline{ \: y0 \: }\cdot3 =\overline{*50} \\ { \: y \: }\cdot3 =\overline{*5}$

Т.е. нам требуется определить цифру, которая при умножении на 3 дает число, оканчивающееся на 5.

Единственная цифра, которая при умножении на 3 дает число с "5" в конце - это 5:

5 • 3 = 15

Отсюда можно сделать вывод, что

y = 5

Далее. Мы получили следующее:

$\overline{ \: 2x57 \: }\cdot3=\overline{x571}$

А теперь можно перевести в классическое уравнение. Т.к.

$\overline{ \: 2x57 \: } = 2 \cdot1000 + x\cdot100 + 5\cdot10 + 7 = \\ =100x + 2057\\ \\ \overline{x571} = x \cdot1000 + 5\cdot100 + 7\cdot10 + 1 = \\ =1000x + 571$

то равенство из условия (что одно число в 3 раза меньше второго) будет выглядеть так:

$\small \overline{ 2x57 }{\cdot}3{=}\overline{x571} \: < = > \: (100x {+ } 2057){ \cdot}3 {= }1000x {+} 571$

Решим:

$(100x {+ } 2057){ \cdot}3 {= }1000x {+} 571 \\ 300x + 6171 = 1000x + 571 \\ 6171 - 571= 1000x - 300x \\ 700x = 5600 \\ x = \frac{5600}{700} = \frac{56}{7} = 8$

А значит,

x = 8.

В итоге получаем:

x = 8;

y = 5;

z = 7.

И, следовательно, сумма цифр исходного числа равна:

x + y + z = 8 + 5 + 7 = 20

Проверка

Исходное число 857

Если справа приписать 1, получим 8571

Если слева приписать 2, получим 2857

Умножим второе число на 3:

2857 • 3 = 8571

Получили первое число. Следовательно, задание решено верно.

Получен ответ:

сумма цифр исходного числа равна 20

(число 857)