Question

Решите уравнение. Даю максимум баллов

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle\\\left \{ {{5^{\log_5^2x}+x^{\log_5x}\geq 2\sqrt[4]{5} } \atop {\log_3^2x}+2>3\log_3x} \right.$

$x>0$

решим первое неравенство

$5^{\log_5^2x}+x^{\log_5x}\geq 2\sqrt[4]{5}\\\\\Big(5^{\log_5x}\Big)^\log_5x}+x^{\log_5x}\geq 2\sqrt[4]{5}\\\\x^{\log_5x}+x^{\log_5x}\geq 2\sqrt[4]{5}\\\\2x^{\log_5x}\geq 2\sqrt[4]{5}\\\\x^{\log_5x}\geq \sqrt[4]{5}\\\\\log_5({x^{\log_5x})\geq\log_5\sqrt[4]{5}$

$\displaystyle\log_5^2x\geq \log_55^\frac{1}{4} \\\\\log_5^2x\geq \dfrac{1}{4} \\\\\Big(\log_5x-\frac{1}{2}\Big )\Big(\log_5x+\frac{1}{2} \Big)\geq 0\\\\\Big(\log_5x-\log_55^\frac{1}{2} \Big )\Big(\log_5x+\log_55^\frac{-1}{2}\Big)\geq 0\\\\(x-5^\frac{1}{2})(x-5^\frac{-1}{2}) \geq 0\\\\znaki:+++\bigg[\frac{1}{\sqrt{5} } \bigg]---\bigg[\sqrt{5}\bigg]+++>x\\\\\boldsymbol{x\in\bigg(-\infty; \frac{1}{\sqrt{5}}\bigg]\cup\bigg[\sqrt{5} ;+\infty\bigg)}$

решим второе неравенство

$\log_3^2x-3\log_3x+2>0\\\\D=b^2-4ac=9-8=1\\\\1)\log_3x=(3+1)/2=2\\\\2)\log_3x=(3-1)/2=1\\\\(\log_3x-\log_39)(\log_3x-\log_33)>0\\\\(x-9)(x-3)>0\\\\znaki:+++(3)---(9)+++>x\\\\\boldsymbol{x\in(-\infty;3)\cup(9;+\infty)}$

найдем пересечение этих промежутков и учтем, что х>0

получим ответ:

$\displaystyle\\\boxed{\boldsymbol{x\in\bigg(0; \frac{1}{\sqrt{5}}\bigg]\cup\bigg[\sqrt{5} ;3\bigg)\cup\bigg(9;+\infty\bigg)}}$