Question

Найдите четыре числа, составляющие убывающую геометрическую прогрессию, зная, что сумма ее крайних членов равна 11 2/3 , а сумма средних 10

Answer 1

Ответ:

$9; 6; 4;2\frac{2}{3}$

Пошаговое объяснение:

Дано

$b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}.$ - убывающая геометрическая прогрессия,

$\left \{ {{b_{1}+b_{4}=11\frac{2}{3} \atop {b_{2}+b_{3}=10}} \right.$

q - знаменатель  убывающей прогрессии т.е. $0<q<1$, и

$b_{2}=b_{1}q\\ b_{3}=b_{1}q^2\\ b_{4}=b_{1}q^3.$

_

$\left \{ {{b_{1}+b_{1}q^3=11\frac{2}{3} \atop {b_{1}q+b_{1}q^2=10}} \right.$

$\left \{ {{b_{1}(1+q^3)=11\frac{2}{3} \atop {b_{1}q(1+q)=10}} \right.$

$\left \{ {{b_{1}(1+q)(1-q+q^2)=11\frac{2}{3} \atop {b_{1}=\frac{10}{q(1+q)} }} \right.$

$\left \{ {{\frac{10}{q(1+q)}(1+q)(1-q+q^2)=11\frac{2}{3} \atop {b_{1}=\frac{10}{q(1+q)} }} \right.$

$\left \{ {{\frac{10(1-q+q^2)}{q}=11\frac{2}{3} \atop {b_{1}=\frac{10}{q(1+q)} }} \right.$

Решаем уравнение:

$\frac{10(1-q+q^2)}{q}=11\frac{2}{3}$

$\frac{10(1-q+q^2)}{q}=\frac{35}{3} |*3q$

$10(1-q+q^2)*3=35q$

$30(1-q+q^2)=35q\\30-30q+30q^2=35q\\30q^2-65q+30=0 |:5\\6q^2-13q+6=0\\D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4*6*6 = 169 - 144 = 25\\q_{1} =\frac{13+\sqrt{25} }{2*6} =\frac{13+5 }{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2} =1.5\\q_{2} =\frac{13-\sqrt{25} }{2*6} =\frac{13-5 }{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

$q_{1} >1$ - не подходит.

$q_{2} =\frac{2}{3}$ - ответ.

Тогда

${b_{1}=\frac{10}{ q(1+q)}\\{b_{1}=\frac{10}{\frac{2}{3} (1+\frac{2}{3} )} =\frac{10}{\frac{2}{3} *\frac{5}{3} }=10:\frac{10}{9} =10*\frac{9}{10}=9$

$b_{2}=b_{1}q=9*\frac{2}{3}=6 \\ \\b_{3}=b_{1}q^2=b_{2}q=6*\frac{2}{3}=4\\\\ b_{4}=b_{1}q^3=b_{3}q=4*\frac{2}{3}=\frac{8}{3} =2\frac{2}{3}$