Question

Помогите решить. Буду благодарна очень

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\lim_{n \to \infty} (\frac{x}{x+1})^{2x-3} = \lim_{n \to \infty} exp(ln(\frac{x}{x+1})^{2x-3})= \lim_{n \to \infty} exp((2x-3)*ln(\frac{x}{x+1})=\\= \lim_{n \to \infty} exp(\frac{ln(\frac{x}{x+1} )}{\frac{1}{2x-3} } ).$Применяем первое правило Лопиталя:

$\lim_{n \to \infty} \frac{(ln(\frac{x}{x+1} ))^'}{(\frac{1}{2x-3})' } .\\1)\ (ln(\frac{x}{x+1}))'= \frac{(\frac{x}{x+1})' }{\frac{x}{x+1} } =\frac{\frac{x'*(x+1)-x*(x+1)'}{(x+1)^2} }{\frac{x}{x+1} } =\frac{x+1-x}{x*(x+1)}=\frac{1}{x*(x+1)}.\\2)\ (\frac{1}{2x-3})'=\frac{1'*(2x-3)-1*(2x-3)'}{(2x-3)^2}=\frac{-2}{(2x-3)^2}=- \frac{2}{(2x-3)^2}.\ \ \ \ \ \Rightarrow$

$\frac{\frac{1}{x*(x+1)} }{-\frac{2}{(2x-3)^2} } =-\frac{(2x-3)^2}{2x*(x+1)}.\\ \lim_{n \to \infty}exp(- \frac{(2x-3)^2}{2x*(x+1)})=exp \lim_{n \to \infty} (- \frac{(2x-3)^2}{2x*(x+1)}).$

$exp(-\frac{1}{2}* \lim_{n \to \infty} \frac{((2x-3)^2)}{(x*(x+1))})=exp(-\frac{1}{2}* \lim_{n \to \infty} \frac{(4x^2-12x+9)}{(x^2+x)})=\\= exp(-\frac{1}{2}* \lim_{n \to \infty} \frac{4-\frac{12}{x}+\frac{9}{x^2} }{1+\frac{1}{x} })=exp(-\frac{1}{2}*\frac{4-0+9}{1+0})=exp(-\frac{1*4}{2})=e^{-2}=\frac{1}{e^2} .$