Question

Найдите все целые значения p,при которых уоавнение x²-px-10=0 имеет целые корни

Answer 1

Так как $D=p^2+40>0$, то по теореме Виета

$x_1+x_2=p~~Rightarrow~~ x_1=p-x_2$

$x_1x_2=-10~~Rightarrow~~~ (p-x_2)x_2=-10$

И решим уравнение $(p-x_2)x_2=-10$ в целых числах.

Делители числа 10: 1, 2, 5, 10.

$displaystyle left { {{p-x_2=1} atop {x_2=-10}} right.~~Leftrightarrow~~~left { {{p=-9} atop {x_2=-10}} right.\ \ left { {{p-x_2=-10} atop {x_2=1}} right.~~Rightarrow~~~left { {{p=-9} atop {x_2=1}} right.\ \ left { {{p-x_2=-1} atop {x_2=10}} right.~~Rightarrow~~left { {{p=9} atop {x_2=10}} right.\ left { {{p-x_2=10} atop {x_2=-1}} right.~~Rightarrow~~left { {{p=9} atop {x_2=-1}} right.$

$displaystyle left { {{p-x_2=2} atop {x_2=-5}} right.~~Rightarrow~~left { {{p=-3} atop {x_2=-5}} right.\ \left { {{p-x_2=-5} atop {x_2=2}} right.~~Rightarrow~~left { {{p=-3} atop {x_2=2}} right.\ \ left { {{p-x_2=-2} atop {x_2=5}} right.~~Rightarrow~~left { {{p=3} atop {x_2=5}} right.\ \ left { {{p-x_2=5} atop {x_2=-2}} right.~~Rightarrow~~left { {{p=3} atop {x_2=-2}} right.$

Ответ: ± 3; ± 9.