Question

Решите иррациональное неравенство sqrt(5x + 6) - sqrt(x + 1) > sqrt(2x - 5)​

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{5x+6}-\sqrt{x+1}>\sqrt{2x-5}\ \ ,\ \ \ ODZ:\ \left\{\begin{array}{l}5x+6\geq 0\\x+1\geq 0\\2x-5\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\geq -1,2\\x\geq -1\\x\geq 2,5\end{array}\right\ \Rightarrow \\\\x\geq 2,5$

Уединим корень:   $\sqrt{5x+6}>\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-5}$   ,  возведём в квадрат:

$5x+6>(x+1)+2\sqrt{(x+1)(2x-5)}+(2x-5)\\\\2x+10>2\sqrt{(x+1)(2x-5)}\ \ ,\ \ \ \sqrt{2x^2-3x-5}<x+5\ \ .$

Опять возведём в квадрат.

$2x^2-3x-5<x^2+10x+25\ \ ,\ \ \ x^2-13x-30<0\ \ ,\\\\x^2-13x-30=0\ \ \to \ \ \ x_1=-2\ ,\ x_2=15\ \ (teorema\ Vieta)\\\\(x+2)(x-15)<0$

Решаем неравенство по методу интервалов, подсчитываем знаки в интервалах.

$+++(-2)---(15)+++\\\\x\in (-2;15)$

Учитывая ОДЗ, окончательно получаем:  $x\in [\ 2,5\ ;\, 15\ )\ .$

Answer 2

прежде всего ОДЗ

подкоренное выражение не может быть отрицательным, т.к. корень четной степени.

2x - 5≥0⇒х≥2.5

x + 1≥0⇒х≥-1

5x + 6≥0⇒х≥-1.2, т.о. ОДЗ х≥2.5

перепишем неравенство

√(5x + 6) > √(2x - 5)+√(x + 1)

теперь обе части неотрицательны, можно возводить в квадрат

5x + 6 > 2x - 5+x + 1+2*√(x + 1)*√(2x - 5)

2х+10> 2*√(x + 1)*√(2x - 5), сократим на два

х+5> √(x + 1)*√(2x - 5)

при х≥2.5 обе части неотрицательны, поэтому  можем возводить в квадрат

х²+25+10х> (x + 1)*(2x - 5)

х²+25+10х> 2x² + 2x-5х - 5

x² -13х - 30<0

решим неравенство методом интервалов

x² -13х - 15=0⇒ по Виету х=-2; х=15

____-2____________15__________

+                   -                             +

х∈(-2;15)

с учетом ОДЗ х∈[2.5;15)

Ответ  х∈[2.5;15)