Question

Хорды АВ и МК пересекаются в точке С, АС = 15 см, СВ = 20 см, МС = 30см. Найти СК.

Answer 1

Ответ:

10

Пошаговое объяснение:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Теорема 1:

теорема о вертикальных углах

(см рис2)

Доказать: a = b

тк дуга(половина окружности) равна 180 градусам(аксиома) то составим два уравнения:

$\left \{ {{a+c=180} \atop {b+c=180}} \right.$

вычтем из обоих уравнений c:

$\left \{ {{a=180-c} \atop {b=180-c}} \right.$

заметим что a = 180 - c и b = 180 - c => a = 180 - c = b => a = b

доказано.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Теорема 2

теорема о вписанном угле

(см рис 3)

1.отложим BD равный AD => угол 1 = угол 2 =>

тк сумма углов 180 ( см теорема 5), то

$\left \{ {L1 + L2 + L4 = 180} \atop {L3 = 180 - L4}} \right.$

180 = L1 + L1 + LA =>

L3 = L1 + L1  + LA - LA => L3 = 2*L1

2. тк вписанный угол, опирающийся на диаметр равен ему самому, а

L3 - вписанный угол => L3 = D(дуга) = 2L1 => L1 = D / 2

доказано.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Теорема 3

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (ПО ВТОРОМУ ПРИЗНАКУ)

Дано: ABC и A1 B1 C1

Доказать: ABC ~ A1B1C1 (подобно)

$\frac{AB}{A1*B1} = \frac{AC}{A1*C1}$  => По 2 признаку они равны => доказано.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Теорема 4

(см рис1)

угол BMK = угол BAK тк опираются на BK (см теорема 2)

угол MAB = угол MKA тк опираются на AM (см теорема 2)

угол MCB = угол ACK тк они вертикальные (см теорема 1)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Теорема 5

сумма углов треуг 180

(см рис4)

1. проведем на вершине прямую, параллельную основанию

2. L4 = L1 (по теореме парралельности)

L5 = L2 (по теореме парралельности)

L5 + L4 + L2 = сумма углов треуг = N

заменим углы:

L2 + L4 + L1 = N = 180 (тк в дуге 180 градусов) => N = 180

доказано.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Это означает, что треугольники BCK и MCA  подобны (см теорема 3), а потому:

$\frac{BC}{CK} = \frac{MC}{CA} =>$ домножаем на CA обе части: $CA \frac{BC}{CK} = MC$ => домножаем на CK: $CA * CB = MC * CK$, также можем заметить что это 2 части двух хорд => мы можем найти нужное значение

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

так как нам неизвестна только одна переменная, то Составим уравнение (по теореме 4):

$30*CK=15*20\\CK=15 * 20 / 30\\CK = 300 / 30\\CK = 10$

Ответ:10