Найти точку пересечения плоскости Г : 2x + y - z = -7 и прямой l, перпендикулярной Г и проходящей через точку (3, -1, 0).
Ответы
Найти точку пересечения плоскости Г : 2x + y - z = -7 и прямой l, перпендикулярной Г и проходящей через точку (3; -1; 0).
В условии задачи нам дано общее уравнение плоскости 2x + y - z + 7 = 0, откуда видно, что n ⃗=(2;1; -1) - нормальный вектор этой плоскости. Этот вектор можно принять как направляющий вектор прямой a, перпендикулярной к заданной плоскости. Тогда мы можем написать канонические уравнения прямой в пространстве, которая проходит через точку M(3; -1; 0) и имеет направляющий вектор с координатами (2;1; -1).
Они имеют вид: (x-3)/2=(y+1)/1=z/(-1).
Приступаем к нахождению координат точки пересечения прямой
(x-3)/2=(y+1)/1=z/(-1) и плоскости 2x + y - z + 7 = 0. Обозначим ее М1.
Выразим переменные x, y, z прямой через параметр t.
(x-3)/2=(y+1)/1=z/(-1)=t.
x = 2t + 3,
y = t - 1,
z = -t
Подставим значения x, y, z в уравнение плоскости.
2(2t + 3) + t - 1 – (-t) + 7 = 0,
4t + 6 + t - 1 + t + 7 = 0,
6t = -12,
t = -12/6 = -2.
Подставляя значение параметра t в выражения переменных, находим проекцию M₁ точки M на заданную плоскость.
x = 2(-2) + 3 = -1,
y = (-2) - 1 = -3,
z = -(-2) = 2.
Ответ: точкой пересечения плоскости Г : 2x + y - z = -7 и прямой l, проходящей через точку M(3, -1, 0), является точка M1(−1;−3; 2 ).