Question

Если умножить квадратный трехчлен ах^2 -2х + b на квадратный трехчлен х^2 + ах - 1, то получится многочлен четвертой степени, в котором коэффициенты при х^2 и х соответственно равны 8 и -2. Найдите а и b


объясните, пожалуйста.

как умножать я знаю, получается ax^4+a^2x^2-ax-2x^3-2ax^2+2x+bx^2+abx-b

как дальше?

Answer 1

Ответ:

a= - 2; b= 2   или     $a=-\dfrac{2}{3}; b= 6$  

Объяснение:

Умножим один квадратный трехчлен на другой

$(ax^{2} -2x+b)(x^{2} +ax-1)= ax^{2} \cdot x^{2} +ax^{2} \cdot ax-ax^{2} -\\\\-2x\cdot x^{2} -2x\cdot ax+2x+ b\cdot x^{2} +b\cdot ax-b=ax^{4}+ a^{2} x^{3} -ax^{2} -2x^{3} -2ax^{2} +2x+\\\\+bx^{2} +abx-b=ax^{4}+(a^{2} -2)x^{3} -(3a-b) x^{2} +(2+ab)x-b$

По условию коэффициент при $x^{2}$ равен 8, а коэффициент при х равен - 2.

Тогда составим и решим систему уравнений.

$\left \{\begin{array}{l} -(3a-b) = 8, \\ 2+ab= -2; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} b-3a = 8, \\ ab= -4; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} b=3a + 8, \\ a(3a+8)= -4; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} b=3a + 8, \\ 3a^{2} +8a +4=0. \end{array} \right.$

Решим второе уравнение системы

$3a^{2} +8a+4=0;\\D= 8^{2} -4\cdot3\cdot4= 64- 48=16=4^{2} ;\\a{_1}= \dfrac{-8-4}{2\cdot3} = -\dfrac{12}{6}=-2 ;\\a{_2}= \dfrac{-8+4}{2\cdot3} = -\dfrac{4}{6}=- \dfrac{2}{3} .$

Если а= -2, то  $b=3\cdot(-2) +8=-6+8=2$

Если $a=-\dfrac{2}{3} ,$   то  $b= 3\cdot\left(- \dfrac{2}{3} \right)+8= -2+8=6$