Question

Решите уравнение
$\cos(2x) - 9 \cos(x) + 6 = 4 \ { \sin( \frac{x}{2} ) }^{2}$
​

Answer 1

Ответ:

$x = - + \frac{\pi}{3} + 2\pi \: n$

n €Z

Объяснение:

$cos(2x) - 9 \times cox + 6 = 4 \times {sin}^{2} \frac{x}{2}$

1). по формуле косинус двойного аргумента:

$cos2x = 2 \times {cos}^{2} x - 1$

2). по формуле косинус двойного аргумента:

$4 \times {sin}^{2} \frac{x}{2} = (1 - 2 \times {sin}^{2} \frac{x}{2} ) \times ( - 2) + 2 = - 2 \times cos(2 \times \frac{x}{2} ) + 2 = - 2 \times cosx + 2$

3).

$cos(2x) - 9cosx + 6 = 4 \times {sin}^{2} \frac{x}{2} \\ 2{cos}^{2} x - 1 - 9cosx + 6 = - 2cosx + 2 \\ 2 {cos}^{2} x - 7cosx + 3 = 0 \\ 2 {cos}^{2} x - 7cosx + 3 = 0$

тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной:

$cosx = t \\ - 1 \leqslant t \leqslant 1$

$2 {t}^{2} - 7t + 3 = 0 \\ t_{1} = \frac{1}{2} \\ t_{2} = 3$

t2=3 - посторонний корень, => корень уравнения t=1/2

обратная замена:

$t = \frac{1}{2} \\ cosx = \frac{1}{2} \\ x = - + arccos \frac{1}{2} + 2\pi \: n$

n €Z. знак € читать "принадлежит"

$x = - + \frac{\pi}{3} + 2\pi \: n$