Question

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. Грани ABC и ABS равновелики. На рёбрах BS, AS и CA отмечены точки K, L и M соответственно, так, что SK:KB=2:3, SL:LA=2:3, CM:MA=2:3.

А) Докажите, что плоскость KLM наклонена к плоскости основания пирамиды под углом 45°.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KLM, если площадь грани ABS равна 25.

Answer 1

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. Грани ABC и ABS равновелики. На рёбрах BS, AS и CA отмечены точки K, L и M соответственно, так, что SK:KB=2:3, SL:LA=2:3, CM:MA=2:3.А) Докажите, что плоскость KLM наклонена к плоскости основания пирамиды под углом 45° ; Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KLM, если площадь грани ABS равна 25.

Решение  

А) 1)По условию площади прямоугольных треугольников с общим основанием АВ равны :   S(ABC)=S(ABS) ⇒ равны их высоты .

2)Пусть LH∥SB ⇒LH⟂(ABC) ⇒LH⟂HC ⇒  ΔLHO- прямоугольный.

Проведем КР∥SC , тогда по т. Фалеса ВР:РС=3:2 ⇒ РМ∥АВ

(для ∠АСВ имеет быть  ВР:РС=3:2 и АМ:МС=3:2 ) .

Тк  SK:KB=2:3 и  SL:LA=2:3 ⇒ KL∥АВ.

Получаем LH=3/5*SB ,HO=3/5*CH , но SB=CH см. пункт 1 ⇒ LH=HO ⇒  

ΔLHO-прямоугольный и равнобедренный ⇒ ∠L=∠LOH=45° .

3) Угол ∠LOH-является углом между (КLM) и (ABC) т.к. МР , линия пересечения этих плоскостей,  перпендикулярна НО ( СН⟂АВ, АВ∥МР)  и LO (по т. о 3-х перпендикулярах)

Б) Сечением пирамиды плоскостью (КLM) является параллелограмм  , тк 2-е стороны равны и параллельны :

a) РМ∥АВ и KL∥АВ ⇒ KL∥МР;  б) LK=2/5*AB и  MР=2/5*АВ.

S(паралл.)=a*h=MP*LO, по условию  S(ABS) =25.

$\displaystyle \frac{1}{2}$*AB*BS=25  ⇒   $\displaystyle AB=\frac{50}{BS}$  ,  высота BS=CH , $\displaystyle AB=\frac{50}{CH}$.

МР:АВ=2:5 ,     $\displaystyle MP=\frac{50}{CH} *\frac{2}{5} =\frac{20}{CH}$  

Из ΔLHO,  по т Пифагора , $\displaystyle LO=\sqrt{(LH^{2}+HO^{2} } )=\sqrt{((\frac{3}{5}SB)^{2}+(\frac{3}{5}CH)^{2}} )$, CH=SB ⇒         $\displaystyle LO=\sqrt{((\frac{3}{5}CH)^{2}+(\frac{3}{5}CH)^{2}} )=\frac{3}{5} *CH*\sqrt{2}$

S(МLКР)=MP*LO=$\displaystyle \frac{20}{CH} *\frac{3}{5} *CH*\sqrt{2} =12\sqrt{2}$