Question

Найдите sinA и sin2a, если tga=-3
При условии, что п/2<а<п

Answer 1

Так как $\dfrac{\pi }{2} <a<\pi$, то угол $a$ принадлежит 2 четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

По известному тангенсу сначала найдем косинус, а затем синус. Зная эти две величины, сможем найти и синус двойного угла.

$1+\mathrm{tg}^2\,a=\dfrac{1}{\cos^2a}$

$\cos^2a=\dfrac{1}{1+\mathrm{tg}^2\,a}$

$\cos a=-\sqrt{\dfrac{1}{1+\mathrm{tg}^2\,a} }$

$\cos a=-\sqrt{\dfrac{1}{1+(-3)^2} } =-\sqrt{\dfrac{1}{1+9} } =-\sqrt{\dfrac{1}{10} } =-\dfrac{1}{\sqrt{10} }$

$\sin^2a+\cos^2a=1$

$\sin^2a=1-\cos^2a$

$\sin a=\sqrt{1-\cos^2a}$

$\sin a=\sqrt{1-\left(-\dfrac{1 }{\sqrt{10}}\right)^2 }=\sqrt{1-\dfrac{1 }{10}}=\sqrt{\dfrac{9 }{10}}=\dfrac{3}{\sqrt{10} } =\dfrac{3\sqrt{10} }{10}$

$\sin2a=2\sin a\cos a$

$\sin2a=2\cdot\dfrac{3}{\sqrt{10} } \cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10} } \right)=-\dfrac{2\cdot3}{\sqrt{10} \cdot\sqrt{10} }=-\dfrac{6}{10} =-\dfrac{3}{5}$

Ответ: $\sin a=\dfrac{3\sqrt{10} }{10};\ \sin2a=-\dfrac{3}{5}$