Question

$\displaystyle\tt9^{\log_2(x-1)-1}-8\cdot5^{\log_2(x-1)-2}\ \textgreater \ 9^{\log_2(x-1)}-16\cdot5^{\log_2(x-1)-1}.$ Решить неравенство.

Answer 1

Ответ:

$x\in(1;5)$

Объяснение:

ОДЗ:

$x-1>0$

$x>1$

$x\in(1;+\infty)$

$9^{\log_2(x-1)-1}-8\cdot5^{\log_2(x-1)-2}> 9^{\log_2(x-1)}-16\cdot5^{\log_2(x-1)-1}$

$9^{\log_2(x-1)-1}- 9^{\log_2(x-1)}>16\cdot5^{\log_2(x-1)-1}+8\cdot5^{\log_2(x-1)-2}$

$9^{-1}\cdot 9^{\log_2(x-1)}- 9^{\log_2(x-1)}>-16\cdot5^{-1}\cdot 5^{\log_2(x-1)}+8\cdot5^{-2}\cdot 5^{\log_2(x-1)}$

$\frac{1}{9}\cdot 9^{\log_2(x-1)}- 9^{\log_2(x-1)}>-16\cdot\frac{1}{5}\cdot 5^{\log_2(x-1)}+8\cdot\frac{1}{25}\cdot 5^{\log_2(x-1)}$

$-\frac{8}{9}\cdot 9^{\log_2(x-1)}>-\frac{16}{5}\cdot 5^{\log_2(x-1)}+\frac{8}{25}\cdot 5^{\log_2(x-1)}$

$-\frac{8}{9}\cdot 9^{\log_2(x-1)}>-\frac{80}{25}\cdot 5^{\log_2(x-1)}+\frac{8}{25}\cdot 5^{\log_2(x-1)}$

$-\frac{8}{9}\cdot 9^{\log_2(x-1)}>-\frac{72}{25}\cdot 5^{\log_2(x-1)}\ \ \ |:(-8)$

$\frac{1}{9}\cdot 9^{\log_2(x-1)}<\frac{9}{25}\cdot 5^{\log_2(x-1)}\ \ \ |\cdot9$

$9^{\log_2(x-1)}<\frac{81}{25}\cdot 5^{\log_2(x-1)}\ \ \ |:5^{\log_2(x-1)}$

$\frac{9^{\log_2(x-1)}}{5^{\log_2(x-1)}}<\frac{81}{25}$

$\left(\frac{9}{5} \right) ^{\log_2(x-1)}< \left(\frac{9}{5} \right)^2$

$\log_2(x-1)<2$

$\log_2(x-1)<2log_22$

$\log_2(x-1)<log_22^2$

$\log_2(x-1)<\log_24$

$x-1<4$

$x<4+1$

$x<5$

$x\in(-\infty;5)$ и $x\in(1;+\infty)$

$x\in(1;5)$