Предмет: Геометрия, автор: dimas97275

Точка пересечения высот равнобедренного треугольника лежит на его вписанной окружности с радиусом 2 корня из 5. Найдите длину основания треугольника


cos20093: Ну тут одна тригонометрия, и очень простенькая. Если a - основание, r - радиус, α - угол при основании, то r = (a/2)*tg(α/2); и из условия про ортоцентр a/2 + r*cos(α) = a*cos(α); (это легко увидеть, если провести радиус в точку касания боковой стороны, ну и высоту, само собой) немного повозиться и будет cos(α) = 2/3; ну и дальше понятно.
mathgenius: Cтранно, у меня вышло, что сos(a) = (√(5)-1)/2
mathgenius: Откуда там 2/3 ?
cos20093: а может я ошибся
cos20093: не ошибся
cos20093: r = (a/2)*(2*cos(α) - 1)/sin(α); r = (a/2)*sin(α)/(1 + cos(α)); => (2*cos(α) - 1)*(1 + cos(α)) = sin²(α) = 1 - cos²(α); => 2*cos(α) - 1 = 1 - cos(α); => cos(α) = 2/3; sin(α) = √5/3; a = 2*r*(1 + cos(α))/sin(α) = 4√5(1 + 2/3)/(√5/3) = 20;
mathgenius: Да я нашел ошибка у себя в вычислениях. Вчера сонный решал, не мудрено
mathgenius: Но я делал без формул половинных углов, у меня самая простенькая тригонометрия была... Просто через определения триг. функций.

Ответы

Автор ответа: siestarjoki
4

∠A=∠C=a

∠AHB1 =∠BHA1 =∠C =a

△AHB1: 2r/x =ctg(a)

∠B1AI =∠A/2 =a/2 (AI - биссектриса)

△AIB1: r/x =tg(a/2)

ctg(a) =2tg(a/2)

\frac{1-tg^{2}\frac{a}{2}}{2tg\frac{a}{2}}=2tg\frac{a}{2}

tg(a/2)=1/√5

AC =2x =2r/tg(a/2) =2√5 r =20

Приложения:
Похожие вопросы
Предмет: Русский язык, автор: веночек
Предмет: Английский язык, автор: Аноним