Предмет: Геометрия, автор: dimas97275

Точка пересечения высот равнобедренного треугольника лежит на его вписанной окружности с радиусом 2 корня из 5. Найдите длину основания треугольника

cos20093: Ну тут одна тригонометрия, и очень простенькая. Если a - основание, r - радиус, α - угол при основании, то r = (a/2)*tg(α/2); и из условия про ортоцентр a/2 + r*cos(α) = a*cos(α); (это легко увидеть, если провести радиус в точку касания боковой стороны, ну и высоту, само собой) немного повозиться и будет cos(α) = 2/3; ну и дальше понятно.

mathgenius: Cтранно, у меня вышло, что сos(a) = (√(5)-1)/2

mathgenius: Откуда там 2/3 ?

cos20093: а может я ошибся

cos20093: не ошибся

cos20093: r = (a/2)*(2*cos(α) - 1)/sin(α); r = (a/2)*sin(α)/(1 + cos(α)); => (2*cos(α) - 1)*(1 + cos(α)) = sin²(α) = 1 - cos²(α); => 2*cos(α) - 1 = 1 - cos(α); => cos(α) = 2/3; sin(α) = √5/3; a = 2*r*(1 + cos(α))/sin(α) = 4√5(1 + 2/3)/(√5/3) = 20;

mathgenius: Да я нашел ошибка у себя в вычислениях. Вчера сонный решал, не мудрено

mathgenius: Но я делал без формул половинных углов, у меня самая простенькая тригонометрия была... Просто через определения триг. функций.