Question

Задано точки A(5,4,3), B(8,1,1), C(4,0,5), D(7,4,5)

Answer 1

Даны четыре точки A( 5; 4; 3), B (8; 1; 1), C(4; 0; 5), D(7; 4; 5).

Составить уравнения:

а) прямой АB. Точки A( 5; 4; 3), B (8; 1; 1).

Направляющий вектор равен: АB = (8-5; 1-4; 1-3) = (3; -3; -2).

Уравнение АB: (x - 5)/3 = (y - 4)/(-3) = (z - 3)/(-2) каноническое.

Приравняем равные части его параметру t.

(x - 5)/3 = (y - 4)/(-3) = (z - 3)/(-2) = t.

Отсюда получаем параметрические уравнения прямой АВ.

x = 3t + 5,

y = -3t + 4,

z = -2t + 3.

б) плоскости АBC. Точки A( 5; 4; 3), B (8; 1; 1), C(4; 0; 5).

Находим векторы АB и АC.

Вектор АВ найден: АB = (3; -3; -2).

АC = (4-5; 0-4; 5-3) = (-1; -4; 2).

Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC.

 i         j        k|        i         j

3       -3      -2|       3       -3

-1       -4       2|      -1      -4 = -6i + 2j - 12k - 6j - 8i - 3k =

                                          = -14i - 4j - 15k.

Нормальный вектор плоскости АBC равен (-14; -4; -15).

Подставляем найденные координаты точка А(5; 4; 3) и нормального вектора плоскости АBC (-14; -4; -15) в уравнение плоскости:

(x−5)⋅(-14)+(y−4)⋅(-4)+(z−3)⋅(-15)=0.  

-14x + 70 – 4y + 16 - 15z + 45 = 0.

Уравнение АBC: -14x - 4y - 15z + 131 = 0.

в) прямой DE перпендикулярной к плоскости АBC; точка D(7; 4; 5).

Направляющим вектором прямой DE является нормальный вектор плоскости АBC, найденный ранее и равный (-14; -4; -15).

Уравнение DE: (x - 7)/(-14) = (y - 4)/(-4) = (z - 5)/(-15).