Решите пожалуйста
Даны координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4 . Найти:
1. длину ребра А1А2 ;
2. угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3. площадь грани А1А2А3 и объем пирамиды;
4. длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;
5. уравнение ребра А1А4, уравнение плоскости А1А2А3 и угол между ребром А1А4 и плоскостью А1А2А3;
Сделать чертеж.
A1(2,-1,7); А2(6,3,1); А3(3,2,8); А4(2,-3,7)
Ответы
Даны координаты вершин пирамиды:
A1(2;-1;7); А2(6;3;1); А3(3;2;8); А4(2;-3;7).
Найти:
1. длину ребра А1А2 .
Находим координаты вектора А1А2 по точкам A1(2;-1;7), А2(6;3;1).
А1А2 = (6-2; 3-(-1); 1-7) = (4; 4; -6).
Длина А1А2 = √(4² + 4² + (-6)²) = √(16 + 16 + 36) = √68 = 2√17.
2. угол между ребрами А1А2 и А1А4.
Вектор А1А2 найден ранее и равен (4; 4; -6).
Находим координаты вектора А1А4 по точкам A1( 2; -1; 7), A4 (2; -3; 7).
А1А4 = (2-2; -3-(-1); 7-7) = (0; -2; 0).
Длина А1А4 = √(0² + (-2)² + 0²) = √(0 + 4 + 0) = √4 = 2.
угол между рёбрами A1A2 и A1A4.
cos(A1A2_A1A4) = (4*0+4*(-2)+(-6)*0)/(2√17*2) = -8/(4√17) = -2√17/17 ≈ -0,48507.
Угол равен arccos (-0,48507) = 119,017 градуса.
3. площадь грани А1А2А3 и объем пирамиды.
Она равна половине модуля векторного произведения векторов А1А2 и А1А3.
Вектор А1А2 найден и равен (4; 4; -6).
Находим вектор А1А3 по точкам A1(2;-1;7) и А3(3;2;8).
А1А3 = (3-2; 2-(-1); 8-7) = (1; 3; 1).
Находим векторное произведение A1A2xA1A3.
i j k| i j
4 4 -6| 4 4
1 3 1| 1 3 = 4i - 6j + 12k - 4j + 18i - 4k = 22i - 10j + 8k.
Найден нормальный вектор грани А1А2А3: (22; -10; 8).
Его модуль равен √(22² + (-10)² + 8²) = √(484 + 100 + 64) = √648 = 18√2.
S = (1/2)*( 18√2) = 9√2 ≈ 12,7279 кв. ед.
Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (A1A2xA1A3)*A1A4.
Произведение векторов (A1A2xA1A3) найдено выше и равно : (22; -10; 8).
Вектор А1А4 тоже найден и равен А1А4 = (0; -2; 0).
(A1А2xA1А3) = 22 -10 8
A1А4 = 0 -2 0
0 + 20 + 0 = 20.
V = (1/6)*|20| = 20/6 = (10/3) куб. ед.
4. длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;
Длина высоты – это расстояние от точки до плоскости.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C².
Не хватает данных уравнения плоскости А1А2А3.
Подставим координаты нормального вектора этой плоскости(22; -10; 8) в уравнение плоскости с учётом координат точки А1(2;-1;7).
(x−2)⋅22+(y+1)⋅(-10)+(z−7)⋅8=0.
22x – 44 - 10y - 10 + 8z – 56 = 0.
Уравнение А1А2А3: 22x - 10y + 8z – 110 = 0 или, сократив на 2,
11x - 5y + 4z – 55 = 0.
Подставим в формулу данные: точка А4(2;-3;7), нормальный вектор плоскости А1А2А3 равный (22; -10; 8) по п.3) .
d = |22·2 + (-10)·(-3) + 8·7 - 110|/√(22² + (-10)² + 8²) =
= |44 + 30 + 56 - 110|/√( 484+ 100 + 64) =
= 20/√648 = 5√2/9 ≈ 0,78567.
5. уравнение ребра А1А4 по точке A1(2;-1;7) и вектору А1А4(0; -2; 0):
(x – 2)/0 = (y + 1)/(-2) = (z – 7)/0,
уравнение плоскости А1А2А3 найдено 11x - 5y + 4z – 55 = 0.
угол между ребром А1А4 и плоскостью А1А2А3 находим по формуле:
∠( А1А4_ А1А2А3) = arcsin|(А1А4)*n(А1А2А3|/(|А1А4|*| n(А1А2А3|).
Подставляем данные: ∠( А1А4_ А1А2А3) =
= arcsin(|0*11+(-2)*(-5)+0*4|/(√(0² + (-2)² + 0²)*√(11² + (-5)² + 4²))) =
= arcsin(|0+10+0|/(√4*√324)) = arcsin(|10|/(2*9√2)) =
= arcsin(|5|/(9√2)) = arcsin(|5√2/18) = 0,4037 радиан или 23,131 градуса.