СРОЧНО! Помогите решить пределы (без использования производной)
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
1) Непосредственная подстановка значения x=0 в данное выражение приводит к неопределённости вида 0/0. Так как при x⇒0 бесконечно малые tg(3*x) и 3*x эквивалентны, и также эквивалентны бесконечно малые sin(2*x) и 2*x (и то и другое - первый замечательный предел!) , то при нахождении предела tg(3*x) можно заменить на 3*x, а sin(2*x) - на 2*x. После этого получим выражение 3*x/[cos(x/2)*2*x]=3/[2*cos(x/2)]. Его предел при x⇒0, очевидно, равен 3/2. Ответ: 3/2.
2) Непосредственная подстановка значения x=∞ в данное выражение приводит к неопределённости вида (∞/∞)^∞. Разделив 0,5*x+3 на 0,5*x+2, получим выражение [1+1/(0,5*x+2)]^(x+2). Обозначая 0,5*x+2=t, получим выражение (1+1/t)^[2*(t-1)]=[(1+1/t)^t]²/(1+1/t)². И так как при x⇒∞ t⇒∞, то предел в скобках [ ] числителя есть ни что иное, как второй замечательный предел, равный e. А так как при t⇒∞ предел знаменателя равен 1²=1, то искомый предел равен e²/1=e². Ответ: e².
8) Непосредственная подстановка значения x=π/2 в данное выражение приводит к неопределённости вида 0/0. Полагая π-2*x=t, получаем выражение sin(t)//tg(3*t/2-π)=sin(t)/tg(3*t/2) И так как при x⇒π/2 t⇒0, то, заменяя sin(t) на t и tg(3*t/2) на 3*t/2, получаем выражение t/(3*t/2)=2/3. Его предел, очевидно, равен 2/3. Ответ: 2/3.
10) Непосредственная подстановка значения x=0 в данное выражение приводит к неопределённости вида 0/0. Обозначим искомый предел через A и рассмотрим число B=e^A=e^lim[ln(1+9*x)/10*x]=lim{[e^ln(1+9*x)]^(1/10*x)}=(1+9*x)^[1/(10*x)]. Полагая 9*x=t, получаем выражение (1+t)^(9*t/10)=[(1+t)^t]^9/10. И учитывая, что при x⇒0 t⇒0, имеем в скобках [ ] второй замечательный предел, равный e. Отсюда B=e^9/10 и тогда A=ln(e^9/10)=9/10=0,9. Ответ: 0,9.