Question

Дано уравнение: (x−a)(x2−10x+24)=0.

Найди те значения a, при которых уравнение имеет три разных корня, и они образуют арифметическую прогрессию.

Вводи возможные значения a в возрастающей последовательности:

1. _ 

 
2. _

 
3. _ 

 
Дополнительный вопрос: чему равны корни квадратного уравнения?

 x²−10x+24=0 (первым пиши меньший корень).

x1 =      x2 = 

​

Answer 1

Ответ:

1. а = 2;

2. а = 5;

3. а = 8

Объяснение:

$(x−a)(x^{2} −10x+24)=0 < = > \\ < = > \left[ \begin{array} {l}x - a = 0 \\ {x}^{2} {-} 10x{ +} 24 = 0 \end{array} \right. \\ < = > \left[ \begin{array} {l}x = a \qquad \qquad\qquad \: (1) \\ {x}^{2} {-} 10x{ +} 24 = 0 \: \qquad \: (2) \end{array} \right.$

Разложим на множители (2).

Для этого решим уравнение (2).

[ответ на дополнительный вопрос]

Я предпочитаю Т. Виета

${x}^{2} - 10x + 24 = 0\\ no \: T. \:Buema: \\ \begin{cases} x_{1} + x_{2} = 10 \\ x_{1} x_{2} =24 \end{cases} < = > \begin{cases} x_{1} = 4 \\ x_{2} =6 \end{cases} = > \\ = > \: \: {x}^{2} - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)$

но можно и классически

${x}^{2} - 10x + 24 = 0 \\ D =10^{2} - 4 {\cdot}1{\cdot}24 = 100 - 96 = 4 > 0 \\x = \frac{ - ( - 10) \pm \sqrt{4} }{2 {\cdot}1} = \frac{10\pm2}{2} = 5\pm1 \\ x_{1} = 5 - 1 = 4 \\ x_{2} = 5 + 1 =6$

[Конец ответа на дополнительный вопрос]

Мы разложили на множители квадратный многочлен:

${x}^{2} - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)$

В результате получаем 3 корня исходного уравнения:

$\left[ \begin{array} {l}x = a \\ {x}^{2} {-} 10x{ +} 24 = 0 \end{array} \right. \: < = > \left[ \begin{array} {l}x = a\\ {x} = 4 \\ x= 6 \end{array} \right.$

Очевидно, если корни а; 4 и 6 составляют арифметическую прогрессию, возможны всего 3 варианта:

1) а - перед 4 и 6

2) а - между 4 и 6

3) а - после 4 и 6

1) а - перед 4 и 6. Тогда арифметическа прогрессия примет вид

$a;\: 4;\: 6\\ a_1=a\\a_2=4\\a_3=6$

Воспользуемся тем фактом, что член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому предыдущего и следующего членов

$a_n= \frac{a_{n - 1} +a_{n + 1}}{2} \\ \\ a_2= \frac{a_{1} +a_{3}}{2} \\ 2a_2= {a_{1} +a_{3}}\\ a_1= {2a_{2} - a_{3}}\\ a_1= {2 \cdot4 - 6} = 8 - 6 \\ a= 2$

2) а - между 4 и 6. Тогда арифметическа прогрессия примет вид

$4;\: a;\: 6\\ a_1=4\\a_2=a\\a_3=6$

Применим то же равенство

$a_2= \frac{a_{1} +a_{3}}{2} \\ a_2= \frac{4 +6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \\ a = 5$

3) а - после 4 и 6

1) а - после 4 и 6. Тогда арифметическа прогрессия примет вид

$4;\: 6;\: a\\ a_1=4\\a_2=6\\a_3=a$

Воспользуемся тем же тождеством

$a_2= \frac{a_{1} +a_{3}}{2} \\ 2a_2= {a_{1} +a_{3}}\\ a = a_3= {2a_{2} - a_{1}}\\ a= {2 \cdot6 - 4} = 12 - 4 \\ a= 8$

Мы получили 3 варианта значений а:

1. а = 2;

2. а = 5;

3. а = 8