Известно, что биссектриса треугольника является его высотой. Докажите, что треугольник равнобедренный.
Ответы
Дано : ΔАВС.
BD — биссектриса и высота ΔАВС (BD⊥AC).
Доказать : ΔABC — равнобедренный.
Доказательство :
Биссектриса треугольника — это отрезок, делящий угол треугольника на два равных угла. Поэтому ∠ABD = ∠CBD (так как BD — биссектриса ΔАВС по условию).
Так как BD⊥AC (по условию), то ∠ADB = ∠CDB = 90°.
Рассмотрим ΔADB и ΔCDB.
BD — их общая сторона, ∠ABD = ∠CBD (по выше сказанному), ∠ADB = ∠CDB (по выше сказанному) ⇒ ΔADB = ΔCDB по стороне и двум прилежащим к ней углам (Ⅱ признак равенства треугольников).
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. ∠ADB = ∠CDB ⇒ АВ = СВ.
Вернёмся к ΔАВС. Если у треугольника равны две стороны, то он — равнобедренный. Так как АВ = СВ (по выше сказанному), то ΔАВС — равнобедренный.
Ответ : что требовалось доказать.
